Soluzioni
  • Una progressione geometrica è una successione ossia una sequenza di numeri non nulli tali che sia costante il rapporto tra ciascun numero ed il precedente.

    Volendo esprimere in formule la definizione di progressione geometrica, diremo che gli n numeri a1, a2, ... an formano una progressione geometrica se

    \\ \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ... = \frac{a_n}{a_{n-1}}=q \\ \\ \mbox{ossia} \\ \\ a_2=a_1 \cdot q; \quad a_3 = a_2 \cdot q; \quad a_4 = a_3 \cdot q; \ ... \ a_n=a_{n-1} \cdot q

    La costante q si dice ragione della progressione geometrica.

     

    Esempi di progressioni geometriche

    1, \ 2, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32, \ 64

    è una progressione geometrica di ragione q=2, infatti

    \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=\frac{64}{32}=2

     

    3, \ 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{9}, \ \frac{1}{27}, \ \frac{1}{81}

    sono sei numeri in progressione geometrica di ragione q=1/3. Verifichiamolo! Ricordando come si calcola la frazione di una frazione, si ha

    \frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{3}}{1}=\frac{\frac{1}{9}}{\frac{1}{3}}=\frac{\frac{1}{27}}{\frac{1}{9}}=\frac{\frac{1}{81}}{\frac{1}{27}}

     

    Formula per il calcolo degli elementi di una progressione geometrica

    Conoscendo il primo elemento a1 e la ragione q di una progressione geometrica è possibile calcolare un elemento qualsiasi ak della progressione ricorrendo alla formula

    a_k = a_1 \cdot q^{k-1}

    Quindi il k-esimo elemento di una progressione geometrica si ottiene elevando la ragione a k-1 e moltiplicandone il risultato per il primo termine della progressione.

    Ad esempio, il settimo elemento (a7) della progressione geometrica di ragione q=3 ed avente come primo a1=2 è

    a_7=a_1 \cdot q^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458

     

    Per chi se lo stesse chiedendo, la formula precedente si ottiene dalla definizione di progressione geometrica. Infatti, a1, a2, ... an sono in progressione geometrica se

    a_2=a_1 \cdot q; \quad a_3 = a_2 \cdot q; \quad a_4 = a_3 \cdot q; \ ... \ a_n=a_{n-1} \cdot q

    Ora, sostituendo ciascuna relazione nella successiva otteniamo

    \\ a_2=a_1 \cdot q \\ \\ \quad a_3 = a_2 \cdot q = (a_1\cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\ \\ a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 q^3 \\ \\ \mbox{... in generale ...} \\ \\ a_k = a_{k-1} \cdot q = (a_1 \cdot q^{k-2})\cdot q = a_1 \cdot q^{k-1}

     

    Somma dei termini di una progressione geometrica

    Data una progressione geometrica di ragione q ed avente come primo elemento a1, la formula che permette di calcolare la somma Sn dei primi n termini termini della progressione geometrica è:

    S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q-1}

    Quindi, data una serie geometrica di ragione q=2 ed avente come primo elemento a1=5, la somma dei primi 10 termini di tale progressione è

    S_{10} = 5 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2-1} = 5 \cdot \frac{1024-1}{1} = 5 \cdot 1023 = 5115

     

    Dimostrazione della formula sul calcolo della somma di una progressione geometrica

    Proponiamoci ora di dimostrare la formula sul calcolo dei primi n termini di una progressione geometrica

    a_1, \ a_2, \ a_3, \ ... \ a_{n-1}, \ a_n

    di ragione q.

    Per definizione di somma abbiamo

    S_n = a_1+a_2+a_3+ ... + a_{n-1} + a_n

    Moltiplicando membro a membro per q si ottiene

    q\cdot S_n = q \cdot a_1 + q \cdot a_2 + q \cdot a_3+ ... + q \cdot a_{n-1} + q \cdot a_n

    Ora, per definizione di progressione geometrica il prodotto tra ciascun termine e la ragione ci dà il termine successivo, quindi possiamo riscrivere la relazione precedente come

    q\cdot S_n = a_2 + a_3 + a_4+ ... + a_n + q \cdot a_n

    Sottraiamo membro a membro l'equazione iniziale da quella precedentemente ottenuta

    q\cdot S_n - S_n = (a_2 + a_3 + a_4+ ... + a_n + q \cdot a_n) - (a_1+a_2+a_3+ ... +a_{n-1} + a_n)

    da cui

    q\cdot S_n - S_n = -a_1 + q \cdot a_n

    Infine, raccogliendo a fattor comune Sn e ricordando che an=a1·qn-1 si ha

    S_n(q-1) = -a_1 + q \cdot \left(a_1 \cdot q^{n-1}\right) = a_1 \cdot q^n - a_1 = a_1 \cdot (q^n-1)

    Dividendo poi ambo i membri per q-1 ricaviamo proprio quanto volevamo provare, ossia

    S_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}

     

    Attenzione a non confondere la progressione geometrica con la serie geometrica, la quale è una particolare serie geometrica avente infiniti elementi.

     

    Per leggere cos'è e come si definisce la progressione aritmetica - click!

    Risposta di Galois
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