Soluzioni
  • Una progressione geometrica, detta anche successione geometrica, è una sequenza di numeri non nulli tali che il rapporto tra ciascun elemento e il precedente è costante; tale costante prende il nome di ragione della progressione geometrica e solitamente si indica con la lettera q.

    Più esplicitamente, consideriamo n numeri non nulli:

    a_1, \ a_2, \ a_3, \ a_4, \ ..., \ a_{n-1}, \ a_n

    Diciamo che tali numeri formano una progressione geometrica di ragione q se il rapporto tra ciascun elemento e il precedente è uguale a q:

    \frac{a_2}{a_1} = \frac{a_3}{a_2} = \frac{a_4}{a_3} = ... = \frac{a_n}{a_{n-1}}=q

    Dalle precedenti uguaglianze segue inoltre che ogni termine di una progressione geometrica si ottiene dal precedente moltiplicandolo per la ragione, ossia

    a_2=a_1 \cdot q \\ \\ a_3 = a_2 \cdot q \\ \\ a_4 = a_3 \cdot q \\ \\ .... \\ \\ a_n=a_{n-1} \cdot q

    Esempi di progressioni geometriche

    \bullet \ 1, \ 2, \ 4, \ 8, \ 16, \ 32, \ 64

    è una progressione geometrica di ragione q=2, infatti

    \frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{8}{4}=\frac{16}{8}=\frac{32}{16}=\frac{64}{32}=2

    \bullet \ 3, \ 1, \ \frac{1}{3}, \ \frac{1}{9}, \ \frac{1}{27}, \ \frac{1}{81}

    sono sei numeri in progressione geometrica di ragione q=\frac{1}{3}. Ricordando come si calcola la frazione di una frazione, si ha che

    \frac{1}{3}=\frac{\dfrac{1}{3}}{1}=\frac{\dfrac{1}{9}}{\dfrac{1}{3}}=\frac{\dfrac{1}{27}}{\dfrac{1}{9}}=\frac{\dfrac{1}{81}}{\dfrac{1}{27}}

    Formula per il calcolo degli elementi di una progressione geometrica

    Conoscendo il primo elemento a_1 e la ragione q di una progressione geometrica è possibile calcolare un elemento qualsiasi a_k della progressione, mediante la formula

    a_k = a_1 \cdot q^{k-1}

    In altri termini il k-esimo elemento di una progressione geometrica si ottiene moltiplicando il primo termine della progressione per la ragione elevata a (k-1).

    Facciamo un esempio e calcoliamo il settimo elemento (a_7) della progressione geometrica di ragione q=3 e avente come primo termine a_1=2:

    a_7=a_1 \cdot q^{7-1} = 2 \cdot 3^6 = 2 \cdot 729 = 1458

    Dimostrazione della formula per il calcolo degli elementi di una progressione geometrica

    Sia a_1, \ a_2, \ ..., \ a_n una progressione geometrica di ragione q. Come già osservato, valgono le seguenti uguaglianze:

    a_2=a_1 \cdot q \\ \\ a_3 = a_2 \cdot q \\ \\ ... \\ \\ a_k=a_{k-1}\cdot q \\ \\ .... \\ \\ a_n=a_{n-1} \cdot q

    Sostituiamo ciascuna relazione nella successiva, ottenendo:

    \\ a_2=a_1 \cdot q \\ \\ a_3 = a_2 \cdot q = (a_1\cdot q) \cdot q = a_1 \cdot q^2 \\ \\ a_4 = a_3 \cdot q = (a_1 \cdot q^2) \cdot q = a_1 \cdot q^3

    ... E così via. Per concludere è sufficiente generalizzare:

    a_k = a_{k-1} \cdot q = (a_1 \cdot q^{k-2})\cdot q = a_1 \cdot q^{k-1}

    Somma dei termini di una progressione geometrica

    Data una progressione geometrica di ragione q\neq 1 e avente come primo elemento a_1, la formula che permette di calcolare la somma S_n dei primi n termini termini della progressione geometrica è data da:

    S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q-1} \ \ \mbox{ con } q \neq 1

    Calcoliamo ad esempio la somma dei primi dieci termini di una progressione geometrica di ragione q=2 e avente come primo elemento a_1=5:

    S_{10} = 5 \cdot \frac{2^{10} - 1}{2-1} = 5 \cdot \frac{1024-1}{1} = 5 \cdot 1023 = 5115

    Dimostrazione della formula sul calcolo della somma di una progressione geometrica

    Proponiamoci ora di dimostrare la formula sul calcolo dei primi n termini di una progressione geometrica a_1, \ a_2, \ a_3, \ ..., \ a_{n-1}, \ a_n di ragione q.

    Per definizione di somma:

    S_n = a_1+a_2+a_3+ ... + a_{n-1} + a_n

    Moltiplichiamo membro a membro per la ragione q:

    q\cdot S_n = q \cdot a_1 + q \cdot a_2 + q \cdot a_3+ ... + q \cdot a_{n-1} + q \cdot a_n

    Per definizione di progressione geometrica, il prodotto tra ciascun termine e la ragione equivale al termine successivo, quindi riscriviamo la precedente relazione nel modo seguente:

    q\cdot S_n = a_2 + a_3 + a_4+ ... + a_n + q \cdot a_n

    Sottraiamo membro a membro l'equazione iniziale da quella appena ottenuta

    q\cdot S_n - S_n = (a_2 + a_3 + a_4+ ... + a_n + q \cdot a_n) - (a_1+a_2+a_3+ ... +a_{n-1} + a_n)

    eliminiamo le parentesi

    q\cdot S_n - S_n = a_2 + a_3 + a_4+ ... + a_n + q \cdot a_n - a_1 - a_2 - a_3 - ... - a_{n-1} - a_n

    e semplifichiamo

    q\cdot S_n - S_n = -a_1 + q \cdot a_n

    A primo membro raccogliamo a fattor comune S_n, mentre a secondo membro sostituiamo a_n con a_1 \cdot q^{n-1}

    S_n(q-1) = -a_1 + q \cdot \left(a_1 \cdot q^{n-1}\right)\\ \\ S_n(q-1) = a_1 \cdot q^n - a_1

    In definitiva

    S_n(q-1) = a_1 \cdot (q^n-1)

    Dividendo entrambi i membri per q-1 ricaviamo la formula per il calcolo della somma dei primi n termini di una progressione geometrica

    S_n = a_1 \cdot \frac{q^n-1}{q-1}

    e la dimostrazione è conclusa.

    Progressione geometrica e serie geometrica

    Talvolta la progressione geometrica viene anche chiamata serie geometrica, ma è bene sapere che ciò non è corretto. Una serie geometrica è infatti la somma di una corrispondente progressione geometrica con infiniti termini, ed è un argomento che si studia all'università nella parte del corso di Analisi Matematica dedicato alle serie numeriche.

    ***

    È tutto! Per leggere cos'è e come si definisce una progressione aritmetica - click!

    Risposta di Galois
 
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