Soluzioni
  • Per studiare il comportamento dell'integrale improprio di prima specie

    \int_{1}^{+\infty}\frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}dx

    possiamo usare il criterio del confronto asintotico per integrali impropri.

    A questo proposito, indichiamo con f(x) la funzione integranda

    f(x)=\frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}

    e osserviamo che essa è una funzione continua e positiva nell'intervallo di integrazione [1,+\infty), e gode della relazione asintotica

    \frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}\sim \frac{e^{4x}}{e^{4x}}=1 \ \ \ \mbox{per} \ x\to +\infty

    In accordo con il criterio del confronto asintotico, l'integrale

    \int_{1}^{+\infty}\frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}dx

    ha il medesimo comportamento di:

    \int_{1}^{+\infty}1dx

    Poiché è un integrale divergente, possiamo concludere che diverge anche l'integrale di partenza.

    Osservazione

    In questa circostanza, non è obbligatorio rifarsi al criterio del confronto asintotico: basta verificare che la funzione integranda non rispetta la condizione necessaria per la convergenza degli integrali impropri.

    In generale, se f(x) è una funzione continua e positiva sull'intervallo [a,+\infty), allora l'integrale improprio

    \int_{a}^{+\infty}f(x)\,dx

    converge se e solo se f(x) tende a 0 per x\to +\infty.

    Nel caso considerato, la funzione integranda è sia continua che positiva, ma tende a 1 per x\to +\infty, infatti:

    \\ \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{4x}}{1+e^{4x}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{4x}}{e^{4x}\left(\frac{1}{e^{4x}}+1\right)}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{\frac{1}{e^{4x}}+1}=1

    Poiché il limite non è 0, l'integrale improprio deve divergere.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi