Soluzioni
  • Per risolvere l'equazione goniometrica con seno e coseno

    \sin(6x)+\sin(2x)=2\cos^2(x)-1

    è necessario conoscere a menadito le formule goniometriche che consentono di semplificarla a dovere. In particolare ci avvarremo della formula di prostaferesi

    \sin(\alpha)+\sin(\beta)=2\sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

    valida per ogni coppia di numeri reali \alpha \ \mbox{e} \ beta.

    Essa infatti giustifica l'identità

    \\ \sin(6x)+\sin(2x)=2\sin\left(\frac{6x+2x}{2}\right)\cos\left(\frac{6x-2x}{2}\right)= \\ \\ \\ =2\sin\left(4x\right)\cos\left(2x\right)

    mediante la quale l'equazione diventa

    2\sin(4x)\cos(2x)=2\cos^2(x)-1

    Sfruttiamo inoltre la formula di duplicazione del coseno

    \cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1 \ \ \ \mbox{per ogni}\  \alpha\in\mathbb{R}

    che letta al contrario consente di esprimere il secondo membro dell'equazione in termini di \cos(2x), infatti:

    2\cos^2(x)-1=\cos(2x)

    dunque ci riconduciamo all'equazione

    2\sin(4x)\cos(2x)=\cos(2x)

    Trasportiamo tutti i termini al primo membro

    2\sin(4x)\cos(2x)-\cos(2x)=0

    raccogliamo il fattore comune \cos(2x)

    \cos(2x)[2\sin(4x)-1]=0

    e infine utilizziamo la legge di annullamento del prodotto, la quale garantisce che il prodotto al primo membro è uguale a zero se e solo se è nullo almeno uno dei fattori, vale a dire:

    \cos(2x)=0  \ \ \ , \ \ \ 2\sin(4x)-1=0

    Sono entrambe equazioni goniometriche elementari che risolviamo singolarmente. Tenendo a mente che il coseno è nullo se e solo se l'angolo vale \frac{\pi}{2}+k\pi, possiamo impostare e risolvere l'equazione

    2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}

    dove k è un qualsiasi numero intero.

    Occupiamoci dell'equazione goniometrica

    2\sin(4x)-1=0

    e scriviamola in forma normale isolando il seno al primo membro

    \sin(4x)=\frac{1}{2}

    Ricordando che il seno di un angolo vale \frac{1}{2} se l'angolo vale

    \frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \mbox{oppure} \ \ \ \frac{5\pi}{6}+2k\pi

    siamo in grado di impostare le seguenti equazioni

    \\ 4x=\frac{\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}\\ \\ \\ 4x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}

    con k\in\mathbb{Z}. In conclusione, l'equazione goniometrica

    \sin(6x)+\sin(2x)=2\cos^2(x)-1

    è soddisfatta dalle seguenti famiglie di soluzioni

    \\ x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \\ \\ \\ x=\frac{\pi}{24}+\frac{k\pi}{2} \\ \\ \\ x=\frac{5\pi}{24}+\frac{k\pi}{2}

    con k\in\mathbb{Z}.

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Algebra