Soluzioni
  • Consideriamo l'integranda dell'integrale improprio

    \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{|x|^{\alpha}}dx\mbox{ con }\alpha>0

    ossia la funzione

    f(x)=\frac{\arctan(x)}{|x|^{\alpha}}

    ed osserviamo che l'arcotangente al numeratore non genera alcun punto problematico, mentre il valore assoluto al denominatore genera un punto singolare nel momento in cui si annulla, ossia quando x=0.

    L'integrale improprio richiede quindi la massima attenzione perché presenta tre problematiche, due dei quali sono gli estremi di integrazione (non finiti) e l'altro è in x=0 in cui la funzione integranda non è ben definita.

    Cosa facciamo a questo punto? Studiamo l'integrabilità di f(x) negli intorni di ciascun punto problematico, facendo uso dei criteri di convergenza per gli integrali impropri.

    Iniziamo l'analisi in un intorno di -\infty, in cui l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica

    f(x)\sim_{x\to -\infty}\frac{-\frac{\pi}{2}}{|x|^{\alpha}}=-\frac{\pi}{2(-x)^{\alpha}}

    Il valore assoluto è sparito lasciando un segno negativo perché stiamo lavorando in un intorno di -\infty e dunque x<0 definitivamente.

    Per il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di prima specie si ha che f(x) è integrabile in senso improprio in un intorno di -\infty se e solo se è integrabile in senso improprio nello stesso intorno la stima asintotica trovata, ossia

    h(x)=-\frac{\pi}{2(-x)^{\alpha}}

    Ciò avviene se e solo se \alpha>1, giacché quello associato ad h(x) è in realtà un integrale improprio notevole di prima specie che converge se e solo se \alpha>1.

    Perfetto, abbiamo ottenuto la prima condizione su \alpha, dobbiamo continuare con l'analisi nell'intorno di 0, ma a causa del valore assoluto dovremo effettuare lo studio del carattere sia nell'intorno sinistro sia nell'intorno destro di 0, nei quali f(x) assume espressioni analitiche differenti.

    In entrambi i casi utilizzeremo il criterio del confronto asintotico per gli integrali impropri di seconda specie.

    Nell'intorno sinistro di 0 l'integranda diventa

    f(x)=\frac{\arctan(x)}{(-x)^{\alpha}}

    e per x\to 0^{-} sussistono le seguenti equivalenze asintotiche

    \arctan(x)\sim_{x\to 0^{-}}x (deriva dal limite notevole dell'arcotangente)

    (-x)^{\alpha}\sim_{x\to 0^{-}}(-x)^{\alpha}

    e dunque l'integranda soddisfa la seguente equivalenza asintotica

    \frac{\arctan(x)}{|x|^{\alpha}}\sim_{x\to 0^{-}}\frac{x}{(-x)^{\alpha}}=-\frac{1}{(-x)^{\alpha-1}}

    Per il criterio del confronto asintotico, f(x) è integrabile nell'intorno sinistro di 0 se e solo se è integrabile in senso improprio la stima asintotica -\frac{1}{(-x)^{\alpha-1}}, e rifacendoci alla tabella degli integrali impropri notevoli di seconda specie abbiamo convergenza se e solo se l'esponente \alpha-1<1\implies \alpha<2.

    Abbiamo ottenuto la seconda condizione su \alpha ma l'indagine non è completa. Procediamo con l'analisi nell'intorno destro di 0, in cui f(x) diventa

    f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{\alpha}}

    per via della definizione stessa di valore assoluto. Come prima, determiniamo una stima asintotica per x\to 0^{+} dell'integranda

    f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{\alpha}}\sim_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x^{\alpha}}=\frac{1}{x^{\alpha-1}}

    e invocando nuovamente il criterio del confronto asintotico abbiamo convergenza se e solo se \alpha-1<1\implies \alpha<2 (il ragionamento è identico al precedente, cambia solo l'espressione analitica di f(x) e dunque la sua stima).

    Manca solo l'analisi nell'intorno di +\infty, in cui la funzione integranda diventa

    f(x)=\frac{\arctan(x)}{x^{\alpha}}

    Tenendo conto che \arctan(x)\to\frac{\pi}{2} per x\to +\infty possiamo costruire la stima asintotica

    \frac{\arctan(x)}{x^{\alpha}}\sim_{x\to +\infty}\frac{\pi}{2x^{\alpha}}

    dunque f(x) è integrabile in senso improprio nell'intorno di +\infty se e solo se è integrabile in senso improprio nello stesso intorno la funzione \frac{\pi}{2x^{\alpha}} e ciò avviene se e solo se \alpha>1.

    Finalmente abbiamo terminato l'analisi. L'integrale improprio di partenza convegre se e solo se f(x) è integrabile in senso improprio in ogni intorno dei punti problematici: ciò avviene per 1<\alpha<2.

    L'esercizio è terminato.

    Risposta di Ifrit
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