Dubbi e complicazioni in un esercizio sul teorema degli zeri
Salve a tutti. :) Vorrei un chiarimento su questa che era la traccia di esame di ieri. Dopo aver enunciato e dimostrato il teorema degli zeri veniva data una funzione così definita f(x) ≥ x^2+cos(x).
Sapendo che f(0)=-1 , provare che esiste un punto x appartenente a (0,+inf) tale che f(x)=0.
Allora intuitivamente questo è vero se si ha in mente la funzione x^2+cos(x) perché essa è sempre positiva, e qundi se f(x) passa da -1 a essere sempre maggiore di una funzione sempre positiva allora esiste uno zero.
Quello che vorrei sapere è come è definita questa funzione f(x)? Voi come lo provereste questo esercizio? Grazie mille!
Ciao Nick, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
L'esercizio deve essere risolto seguendo proprio l'idea che hai avuto, per il resto si tratta solamente di formalizzare per bene i ragionamenti.
Attenzione ad una cosa: per come hai scritto le ipotesi nella domanda, ci sarebbe una contraddizione. Credo però, vedendo come hai ragionato nel seguito, che ci siano ipotesi ulteriori sulla funzione 
(continuità) e che la maggiorazione larga
valga in un intorno di 
...
Namasté!
Risposta di Omega
Allora per quanto riguarda l'ipotesi di continuità hai ragione ho dimenticato di inserirla :) Invece per quanto riguarda l'ipotesi di maggiorazione larga non vale solo per un intorno di +inf.
Cioè dice(trascrivo la traccia): sia f:R--->R una funzione continua tale che, per ogni x che appartiene ad R: f(x)>= x^2+cos(x).
Come è possibile? Non saprei proprio da dove partire con la dimostrazione in questo caso...
Risposta di nick
Aspetta: me la scrivi tutta quanta la traccia?............
Risposta di Omega
Certo! :)
Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.
Sia f:R-->R una funzione continua tale che per ogni x che appartiene a R: f(x)≥x^2+cos(x) e f(0)=-1.
Provare che esiste un punto appartenente a (1,+inf) tale che f(x)=0.
Risposta di nick
Uhm...
Sono date due possibilità:
- se la traccia recita "sia 
una funzione continua tale che per ogni 
risulta che e tale che 
"
allora il problema non ha senso, perché la funzione 
, essendo tale che , non può essere evidentemente tale che per ogni . Osserva infatti che
- se invece il testo lascia intendere che la funzione è continua su tutto 
e che l'insieme 
è non vuoto, allora il problema ha senso e il metodo di risoluzione si fonda proprio sull'idea che hai proposto tu 
Namasté!
Risposta di Omega
no non ho capito..ammettiamo che il testo lasci intendere la seconda possibilità che hai scritto, come fa ad avere senso che la x appartiene a quell'insieme, sempre positivo, e f(x)=-1?
Risposta di nick
Non è quello che ho scritto 
: nella seconda eventualità ho scritto che l'insieme delle 
per le quali maggiora la funzione 
è non vuoto. E' un'ipotesi che dà senso al problema, ed è l'unica possibilità che avrebbe senso prendere in considerazione dato che l'esercizio chiede di dimostrare, e non di stabilire, se la funzione ammette uno zero.
Namasté!
Risposta di Omega
ok capito. grazie mille :)
Risposta di nick