Dubbi e complicazioni in un esercizio sul teorema degli zeri

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Salve a tutti. :) Vorrei un chiarimento su questa che era la traccia di esame di ieri. Dopo aver enunciato e dimostrato il teorema degli zeri veniva data una funzione così definita f(x) ≥ x^2+cos(x).

 

Sapendo che f(0)=-1 , provare che esiste un punto x appartenente a (0,+inf) tale che f(x)=0.

 

Allora intuitivamente questo è vero se si ha in mente la funzione x^2+cos(x) perché essa è sempre positiva, e qundi se f(x) passa da -1 a essere sempre maggiore di una funzione sempre positiva allora esiste uno zero.

 

Quello che vorrei sapere è come è definita questa funzione f(x)? Voi come lo provereste questo esercizio? Grazie mille!

Domanda di nick

 
Soluzioni

  • Ciao Nick, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • L'esercizio deve essere risolto seguendo proprio l'idea che hai avuto, per il resto si tratta solamente di formalizzare per bene i ragionamenti.

    Attenzione ad una cosa: per come hai scritto le ipotesi nella domanda, ci sarebbe una contraddizione. Credo però, vedendo come hai ragionato nel seguito, che ci siano ipotesi ulteriori sulla funzione f(x) (continuità) e che la maggiorazione larga 

    f(x)\geq x^2+\cos{(x)}

    valga in un intorno di +\infty...

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Allora per quanto riguarda l'ipotesi di continuità hai ragione ho dimenticato di inserirla :) Invece per quanto riguarda l'ipotesi di maggiorazione larga non vale solo per un intorno di +inf.

    Cioè dice(trascrivo la traccia): sia f:R--->R una funzione continua tale che, per ogni x che appartiene ad R: f(x)>= x^2+cos(x).

    Come è possibile? Non saprei proprio da dove partire con la dimostrazione in questo caso...

     

    Risposta di nick

  • Aspetta: me la scrivi tutta quanta la traccia?............Surprised

    Risposta di Omega

  • Certo! :)

    Enunciare e dimostrare il teorema degli zeri.

    Sia f:R-->R una funzione continua tale che per ogni x che appartiene a R: f(x)≥x^2+cos(x) e f(0)=-1.

    Provare che esiste un punto appartenente a (1,+inf) tale che f(x)=0.

     

    Risposta di nick

  • Uhm...

    Sono date due possibilità:

    - se la traccia recita "sia f_\mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione continua tale che per ogni x\in\mathbb{R} risulta che f(x)\geq x^2+\cos{(x)} e tale che f(0)=-1"

    allora il problema non ha senso, perché la funzione f, essendo tale che f(0)=-1, non può essere evidentemente tale che f(x)\geq x^2+\cos{(x)} per ogni x\in\mathbb{R}. Osserva infatti che

    0+\cos{(0)}=1> f(0)=-1

     - se invece il testo lascia intendere che la funzione f(x) è continua su tutto \mathbb{R} e che l'insieme \{x\in\mathbb{R}\mbox{ : }f(x)\geq x^2+\cos{(x)}\} è non vuoto, allora il problema ha senso e il metodo di risoluzione si fonda proprio sull'idea che hai proposto tu Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • no non ho capito..ammettiamo che il testo lasci intendere la seconda possibilità che hai scritto,  come fa ad avere senso che la x appartiene a quell'insieme, sempre positivo, e f(x)=-1?

    Risposta di nick

  • Non è quello che ho scritto Laughing: nella seconda eventualità ho scritto che l'insieme delle x per le quali f(x) maggiora la funzione x^2+\cos{(x)} è non vuoto. E' un'ipotesi che dà senso al problema, ed è l'unica possibilità che avrebbe senso prendere in considerazione dato che l'esercizio chiede di dimostrare, e non di stabilire, se la funzione f(x) ammette uno zero.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok capito. grazie mille :)

     

    Risposta di nick
 
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