Soluzioni
  • Abbiamo un limite che genera una forma indeterminata infinito meno infinito

    \lim_{x\to +\infty}{\sqrt[3]{x^3-3x^2}-x}

    è necessario procedere per razionalizzazione. Ricordando che vale la formula di scomposizione per polinomi (differenza di cubi)

    a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    Moltiplichiamo e dividiamo la funzione per

    \sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}+\sqrt[3]{x^3-3x^2}\cdot x+x^2

    Per cui possiamo riscrivere il limite nella forma

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^3-3x^2-x^3}{\sqrt[3]{(x^3-3x^2)^2}+x\sqrt[3]{x^3-3x^2}+x^2}}

    In qiesto modo abbiamo eliminato la forma di indecisione [\infty -\infty] e, limitandoci a considerare gli infiniti di ordine principale, abbiamo che il limite si riduce a

    \lim_{x\to +\infty}\frac{-3x^2}{\sqrt[3]{x^6}+x\sqrt[3]{x^3}+x^2}=-1

    Namasté!

    Risposta di Omega
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