Soluzioni
  • Ciao Temitope, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci: l'ottimo Ifrit, mi ha suggerito, successivamente, di prendere in considerazione una nota funzione che fa proprio al caso nostro: la funzione di Thomae

    f(x)=\left\{\begin{matrix}0 &\mbox{ se }x\notin \mathbb{Q}\\ \frac{1}{n}& \mbox{ se }x=\frac{m}{n}\mbox{ con }\frac{m}{n}\mbox{ ridotta ai minimi termini}\end{matrix}

    Tale funzione non è differenziabile sugli irrazionali. Prendiamo x_{0}\in\mathbb{Q} e consideriamo

    \lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}

    Nel caso in cui x\notin \mathbb{Q} abbiamo che

    \lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=0

    Consideriamo il caso in cui x\in\mathbb{Q}: per il teorema di approssimazione di Dirichlet risulta che

    \left|x_0-\frac{m}{n}\right|\leq \frac{1}{n^2}

    è soddisfatta per infinite coppie di relativi m,n. Fissiamo \varepsilon>0, e osserviamo che esiste n=n(\varepsilon) tale che

    {tex}\frac{1}{n^2}

    Dunque, per tale valore di n

    \left|x_0-\frac{m}{n}\right|\leq \varepsilon

    inoltre, prendendo x=\frac{m}{n} abbiamo che

    \lim_{x\to x_0}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}{\frac{\frac{1}{n}}{x_0-\frac{m}{n}}}>\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n^2}}=n

    Potendo prendere n arbitrariamente grande, segue che il rapporto incrementale è illimitato in un intorno di x_0. La funzione non è differenziabile sugli irrazionali.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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