Potete darmi e spiegarmi un esempio di funzione differenziabile sugli irrazionali e non differenziab
Se io prendo una successione x_n iniettiva e che ha come immagine l'insieme dei razionali Q, e definisco
f(x)=1/n se x è uno degli x_n (dunque se è un razionale)
f(x)= 0 altrimenti
La funzione è una "gradazione di punti che si addensa sull'asse y=0, ovevro, scelto un qualsiasi c>0, la retta y=c ha finiti punti dell'immagine sopra di sé ed infiniti sotto.
Ottengo una funzione continua sugli irrazionali e con discontinuità eliminabile sui razionali (ovvero il limite, per x->x_0 razionale esiste e vale 0, anche se la funzione lì non vale zero)
Ma, questa funzione, che ovviamente non è differenziabile sui razionali, lo è sugli irrazionali?
Ciao Temitope, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
Eccoci: l'ottimo Ifrit, mi ha suggerito, successivamente, di prendere in considerazione una nota funzione che fa proprio al caso nostro: la funzione di Thomae
Tale funzione non è differenziabile sugli irrazionali. Prendiamo 
e consideriamo
Nel caso in cui 
abbiamo che
Consideriamo il caso in cui 
: per il teorema di approssimazione di Dirichlet risulta che
è soddisfatta per infinite coppie di relativi 
. Fissiamo 
, e osserviamo che esiste 
tale che
{tex}\frac{1}{n^2}
Dunque, per tale valore di 
inoltre, prendendo 
abbiamo che
Potendo prendere arbitrariamente grande, segue che il rapporto incrementale è illimitato in un intorno di 
. La funzione non è differenziabile sugli irrazionali.
Namasté!
Risposta di Omega