Soluzioni
  • Ciao White arrivo :P

    Risposta di Ifrit
  • Ok, iniziamo:

    \int_0^{+\infty}\frac{x}{(x+1)^3}dx

    E' un integrale improprio di primo tipo, visto che un estremo di integrazione non è finito. Per verificare la convergenza puoi procedere in due modi.

    • Calcoli esplicitamente l'integrale (non sempre è possibile!) e verifichi che è un numero finito

    • Utilizzi i criteri di convergenza, ad esempio il criterio del confronto, o il criterio del confronto asintotico per gli integrali.

    In questo caso, l'esercizio richiede prima di valutare la convergenza e in seguito di trovarne il valore.

    Utilizzeremo il criterio del confronto asintotico per integrali impropri di prima specie:

    Poiché

    (x+1)^3\sim_{+\infty}x^3

    Si ha che:

    \frac{x}{(x+1)^3}\sim_{+\infty}\frac{x}{x^3}=\frac{1}{x^3}

    Ora 

    \int_{a}^{\infty}\frac{1}{x^3}dx

    è un integrale improprio notevole, è convergente perché l'esponente dell'integranda è maggiore di 1, conseguentemente converge anche l'integrale di partenza, lo possiamo asserire grazie al criterio del confronto asintotico.

    Determiniamo l'integrale:

    \int_0^{+\infty}\frac{x}{(x+1)^3}dx

    Per definizione di integrale improprio esso è uguale a:

    \lim_{M\to \infty}\int_0^{M}\frac{x}{(x+1)^3}dx

    Per risolvere l'integrale procediamo integrando per sostituzione:

    x+1=t\implies dx= dt

    \int\frac{t-1}{t^3}= \int\frac{t}{t^3}-\frac{1}{t^3}dt= \int\frac{1}{t^2}dt-\int\frac{1}{t^3}dt

     

    Da cui otteniamo che:

    \int \frac{1}{t^2}dt= -\frac{1}{t}+c

    mentre

    \int \frac{1}{t^3}dt=-\frac{1}{2t^2}+c

    Dunque:

    \int\frac{t-1}{t^3}=  \int\frac{1}{t^2}dt-\int\frac{1}{t^3}dt= -\frac{1}{t}-\frac{1}{2t^2}+c=

    =-\frac{1+2t}{2t^2}+c

    Tornando in x :

    \int_0^{M}\frac{x}{(x+1)^3}dx= \left[-\frac{1+2x}{2(x+1)^2}\right]_0^M=\frac{M^2}{2(1+M)^2}

    Di conseguenza:

    \lim_{M\to \infty}\int_0^{M}\frac{x}{(x+1)^3}dx= \lim_{M\to \infty}\frac{M^2}{2(1+M)^2}=\frac{1}{2}

    Finito. Se hai domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit
  • mi è tutto chiarissimo eccetto un'unica cosa sopra quando hai detto che (x+3)^3 è asintoticamente uguale a x^3 hai applicato lo stesso ragionamento che si fa nei limiti con forma indeterminata infinito/infinito? cioè che il grado massimo diciamo che prevale in quanto arriva più velocemente ad infinito?

    Ed ultima domanda x/x^3= 1/x^2, perchè hai scritto al cubo?

     

    Grazie

    Risposta di WhiteCell
  • Per la prima domanda:

    Ho semplicemente ragionato come segue:

    In (x+1)^3 quando x diventa molto grande, l'uno viene trascurato quindi quello che rimane è 

    x^3. Questa è una spiegazione intuitiva, se invece vuoi una giustificazione matematica ti è sufficiente calcolare:

    \lim_{x\to \infty}\frac{(x+1)^3}{x^3}=1

    dunque (x+1)^3\sim_{+\infty}x^3

    Da quello che ho scritto prima segue anche che:

    \frac{x}{(x+1)^3}\sim_{+\infty}\frac{x}{x^3}= \frac{1}{x^2}

     

    Spero sia chiaro

    Risposta di Ifrit
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