Soluzioni
  • Ciao Delta Maximus arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Ciao Delta Maximus, un attimo di pazienza e sono da te ;)

    Risposta di Omega
  • Vediamo, il limite è questo giusto?

    \lim_{x\to 0}\frac{\cos(a x)-\sqrt{1+x^2}-a^2 x^2}{(x-\sin(x))^a}

    Risposta di Ifrit
  • Si è proprio questo!

    Risposta di
  • A quanto ho capito il limite è proprio quello che ho scritto. 

    \cos(a x)=1-\frac{a^2 x^2}{2}+\frac{a^4x^4}{24}+o(x^4)

    \sqrt{1+x^2}=1+\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{8}+o(x^2)

    \sin(x)= x-\frac{x^3}{6}+o(x^3)

    Il numeratore si riscrive come:

    -\frac{1}{2}(1+a)^2 x^2+\frac{(3+a^4)x^4}{24}o(x^4)

    Il denominatore invece:

    \frac{1}{6^a}x^{3a}+o(x^{3a})

    Il limite diventa:

    \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}(1+a)^2 x^2+\frac{(3+a^4)x^4}{24}o(x^4)}{\frac{1}{6^a}x^{3a}+o(x^{3a})}

     

    Se a= \frac{2}{3} allora sia il numeratore che il denominatore avranno lo stesso ordine, pertanto il limite esiste finito e vale:

    \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{1}{2}(1+a)^2 x^2+\frac{(3+a^4)x^4}{24}o(x^4)}{\frac{1}{6^a}x^{3a}+o(x^{3a})}=-\frac{25}{3\sqrt[3]{6}}

     

    Se a\textless\frac{2}{3} allora il limite varrà zero

     

    a\textgreater \frac{2}{3} il limite varrà - infinito :)

     

    Risposta di Ifrit
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