Decrescenza della successione di una serie con parametro

Salve, ho la serie con successione del termine generale n^(a-2) e dovrei trovare i valori del parametro a per cui la successione è decrescente. Oltre a questo devo studiare la convergenza della serie: devousare leibniz?

Per vedere se la mia serie è decrescente devo imporre a-2<0 o a-2<1?

Domanda di frascatano
Soluzioni

Ciao frascatano arrivo :D

Risposta di Ifrit

Se hai la serie 

Σ_(n = 1)^(∞)n^(a−2)

Non devi applicare Leibnitz per la convergenza semplice, anche perché non è una serie a segni alterni. Osserva invece che la serie si riscrive come:

Σ_(n = 1)^(∞)(1)/(n^(2−a))

E' una serie armonica generalizzata con esponente 2−a

La serie armonica generalizzata converge se e solo se l'esponente è maggiore di 1 quindi:

2−a > 1 ⇒−a > −2+1 ⇒−a > −1 ⇒ a < 1

Risposta di Ifrit

si lo so che non è a segni alterni,quello era il risuiltato che mi veniva dalla serie di partenza che aveva il (-1)^n,scusa se non sono stato chiaro... e volevo sapere come potevo dimostrare che questa serie è decrescente.....

Risposta di frascatano

Ok.

Abbiamo quindi la serie:

Σ_(n = 1)^(∞)(−1)^(n)n^(a−2)

Ora sì che è una serie a segni alterni. Chiamiamo

a_n = n^(a−2)

Affinché la serie converga si deve avere che 

lim_(n → ∞)a_n = 0 ⇔ lim_(n → ∞)n^(a−2) = 0

e questo avviene se a−2 < 0 ⇒ a < 2

Quando a < 2 viene soddisfatta la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza.

Per utilizzare il criterio di Leibinitz, abbiamo bisogno che la successione sia decrescente:

a_(n+1) < a_(n) ∀ n∈N

Da n < n+1 segue che

(n+1)^(a−2) < n^(a−2) 

questo perché a < 2 di conseguenza a−2 < 0.

(Ricorda che la funzione potenza, con esponente negativo è decrescente!)

Per il criterio di Leibnitz la serie converge per ogni a < 2

Risposta di Ifrit

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