Decrescenza della successione di una serie con parametro

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Salve, ho la serie con successione del termine generale n^(a-2) e dovrei trovare i valori del parametro a per cui la successione è decrescente. Oltre a questo devo studiare la convergenza della serie: devousare leibniz?

Per vedere se la mia serie è decrescente devo imporre a-2<0 o a-2<1?

Domanda di frascatano

 
Soluzioni

  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Se hai la serie 

    \sum_{n=1}^{\infty}n^{a-2}

    Non devi applicare Leibnitz per la convergenza semplice, anche perché non è una serie a segni alterni. Osserva invece che la serie si riscrive come:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2-a}}

    E' una serie armonica generalizzata con esponente 2-a

     

    La serie armonica generalizzata converge se e solo se l'esponente è maggiore di 1 quindi:

    2-a\textgreater 1\implies -a\textgreater -2+1\implies -a\textgreater -1\implies a\textless 1

    Risposta di Ifrit

  • si lo so che non è a segni alterni,quello era il risuiltato che mi veniva dalla serie di partenza che aveva il (-1)^n,scusa se non sono stato chiaro... e volevo sapere come potevo dimostrare che questa serie è decrescente.....

    Risposta di frascatano

  • Ok.

    Abbiamo quindi la serie:

    \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}n^{a-2}

     

    Ora sì che è una serie a segni alterni. Chiamiamo

    a_n= n^{a-2}

    Affinché la serie converga si deve avere che 

    \lim_{n\to \infty}a_n=0\iff \lim_{n\to \infty}n^{a-2}=0

    e questo avviene se a-2\textless 0\implies a\textless 2

     

    Quando a\textless 2 viene soddisfatta la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza.

     

    Per utilizzare il criterio di Leibinitz, abbiamo bisogno che la successione sia decrescente:

    a_{n+1}\textless a_{n}\quad \forall n\in\mathbb{N}

    Da n\textless n+1 segue che

    (n+1)^{a-2}\textless n^{a-2} 

    questo perché a\textless 2 di conseguenza a-2\textless 0.

    (Ricorda che la funzione potenza, con esponente negativo è decrescente!)

     

    Per il criterio di Leibnitz la serie converge per ogni a\textless 2

    Risposta di Ifrit
 
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