Decrescenza della successione di una serie con parametro
Salve, ho la serie con successione del termine generale n^(a-2) e dovrei trovare i valori del parametro a per cui la successione è decrescente. Oltre a questo devo studiare la convergenza della serie: devousare leibniz?
Per vedere se la mia serie è decrescente devo imporre a-2<0 o a-2<1?
Ciao frascatano arrivo :D
Risposta di Ifrit
Se hai la serie
Non devi applicare Leibnitz per la convergenza semplice, anche perché non è una serie a segni alterni. Osserva invece che la serie si riscrive come:
E' una serie armonica generalizzata con esponente
La serie armonica generalizzata converge se e solo se l'esponente è maggiore di 1 quindi:
Risposta di Ifrit
si lo so che non è a segni alterni,quello era il risuiltato che mi veniva dalla serie di partenza che aveva il (-1)^n,scusa se non sono stato chiaro... e volevo sapere come potevo dimostrare che questa serie è decrescente.....
Risposta di frascatano
Ok.
Abbiamo quindi la serie:
Ora sì che è una serie a segni alterni. Chiamiamo
Affinché la serie converga si deve avere che
e questo avviene se
Quando viene soddisfatta la condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza.
Per utilizzare il criterio di Leibinitz, abbiamo bisogno che la successione sia decrescente:
Da segue che
questo perché di conseguenza
.
(Ricorda che la funzione potenza, con esponente negativo è decrescente!)
Per il criterio di Leibnitz la serie converge per ogni
Risposta di Ifrit