Problema sui solidi composti

Qualcuno mi spiega come risolvere questo problema sui solidi composti, per favore?

Un solido è composto da un prisma regolare quadrangolare e da una piamide con la base coincidente con una base del prisma. L'area di base del prisma è 225 cm quadrati, l'altezza totale del solido misura 42 cm e l'altezza del prisma è 4/3 dell'altezza della piramide. Calcola l'area della superficie totale e il volume del solido. Grazie mille!

In Medie - Geometria - Domanda di bubu

Soluzioni

Ciao Bubu arrivo :D
Risposta di Ifrit
Cominciamo dai dati, e dalle formule sul prisma e dalle formule sulla piramide (click)
$\begin{cases}A_b= 225\,\, cm^2\\ h_{tot}= 42\,\, cm\\ h_{pr}= \frac{4}{3} h_{pir}\\ S_t= ?\\ V=?\end{cases}$
Calcoliamo le altezze dei due solidi, sapendo che la loro somma è data da $h_{tot}= h_{pr}+h_{pir}$ .
Calcoliamo l'unità frazionaria che in questo caso è data dalla somma tra 4 e 3:
dunque:
$h_{pr}= h_{tot}:u_f\times 4= 42:7\times 4= 24\,\, cm$
$h_{pir}= h_{tot}:u_f\times 3= 42:7\times 3= 18\,\, cm$
Grazie all'altezza del prisma e dell'area di base calcolo il volume:
$V_{pr}= A_b\times h_{pr}=225\times 24= 5400\,\, cm^3$
Calcoliamo il volume della piramide:
$V_{pir}= \frac{A_b\times h_{pir}}{3}= \frac{225\times 18}{3}=1350\,\, cm^3$
Il volume totale è dato dalla somma dei volumi:
$V_{tot}= V_{pir}+V_{pr}= 5400+1350=6750\,\, cm^3$
Adesso concentriamoci sull'area della superficie totale del solido.
Calcoliamo l'area della superficie laterale della piramide e del prisma, per farlo avremo bisogno del perimetro di base e per ottenerlo, avremo bisogno dello spigolo di base.
$s= \sqrt{A_b}= \sqrt{225}=15\,\, cm$
Il perimetro di base è:
$P_b= s\times 4= 15\times 4= 60\,\, cm$
Calcoliamo l'apotema della piramide utilizzando il teorema di Pitagora:
$a=\sqrt{s^2/4+h_{pir}^2}= \sqrt{380.25}=19.5\,\, cm$
Ok calcoliamo la superficie laterale:
$S_{l_{pi}}=\frac{P_b\times a}{2}= \frac{60\times 19.5}{2}= 585\,\, cm^2$
Calcoliamo ora la superficie laterale del prisma:
$S_{l_{pr}}= P_b\times h_{pr}= 60\times 24=1440\,\, cm^2$
La superficie totale del solido è data dalla somma delle superfici laterali più l'area di base:
$S_{tot}= S_{l_{pr}}+S_{l_{pi}}+A_b= 585+1440+225= 2250\,\, cm^2$
Ecco fatto! :)
Risposta di Ifrit