Soluzioni
  • Seguendo passo passo il metodo per lo studio di funzione, studieremo la funzione fratta con radice cominciando dal dominio

    f(x)=\frac{x}{\sqrt{x-1}}

    richiedendo che l'argomento della radice sia strettamente maggiore di zero (strettamente perché la radice si trova a denominatore, quindi non può annullarsi).

    Il dominio è quindi x>1, ossia 

    \mbox{dom}(f)=(1,+\infty) 

    Osserviamo che il dominio non è simmetrico rispetto allo 0, pertanto f(x) non può essere né una funzione pari né una funzione dispari.

    Controlliamo se la funzione ha intersezioni con gli assi. Per quanto riguarda le intersezioni con l'asse delle ascisse, dobbiamo mettere a sistema

    \\ y=0 \\ \\ y=\frac{x}{\sqrt{x-1}}

    così da ottenere l'equazione risolvente

    \frac{x}{\sqrt{x-1}}=0

    che ha unica soluzione

    x=0

    Attenzione! x=0 non è una soluzione accettabile perché non appartiene al dominio di f(x) di conseguenza la funzione non ha intersezioni con gli assi coordinati.

    Lo studio del segno della funzione è praticamente immediato. È infatti facile vedere che f(x) è positiva su tutto il suo dominio: basta risolvere la disequazione fratta

    f(x)\geq 0\iff \frac{x}{\sqrt{x-1}}\ge 0

    Osserviamo infatti che per x>1 sia il numeratore che il denominatore sono quantità positive, di conseguenza anche il rapporto lo è.

    Nel calcolo dei limiti agli estremi del dominio, si vede che x=1 è asintoto verticale in quanto calcolando il limite

    \\ \lim_{x\to 1^{+}}{f(x)}= \\ \\  = \lim_{x\to 1^{+}}\frac{x}{\sqrt{x-1}}=\left[\frac{1}{0^{+}}\right]=+\infty

    ci si rende conto che è infinito. Il limite da sinistra non si può calcolare perché la funzione non è definita per x minori di 1.

    Consideriamo il limite per x\to +\infty

     \\ \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=\\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\sqrt{x-1}}=

    il cui risultato si desume dal semplice confronto tra infiniti tra numeratore e denominatore. Osserviamo infatti che il denominatore si comporta come \sqrt{x} per x\to +\infty, giacché la costante -1 può essere tranquillamente trascurata.

    Grazie a questa osservazione il limite diventa

     \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\sqrt{x}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\sqrt{x}=+\infty

    Certamente la funzione non presenta asintoto orizzontale per x\to +\infty ma potrebbe ammettere asintoto obliquo di equazione y=mx+q. Consideriamo il limite che definisce il coefficiente angolare dell'asintoto che deve essere finito e diverso da zero, in caso contrario f(x) non ha asintoto obliquo:

    \\ m=\lim_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{\frac{x}{\sqrt{x-1}}}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{x-1}}= \left[\frac{1}{+\infty}\right]=0

    Il limite è zero pertanto f(x) non ammette asintoto obliquo.

    Dedichiamoci ora al calcolo e allo studio della derivata prima grazie al quale determineremo i cosiddetti intervalli di monotonia.

    Per calcolare la derivata prima, bisogna applicare le regole di derivazione e in particolare quella che riguarda il rapporto di funzioni

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}[f(x)]= \\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[x]\cdot\sqrt{x-1}-x\frac{d}{dx}[\sqrt{x-1}]}{[\sqrt{x-1}]^2}= \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{x-1}-x\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}}{x-1}=\\ \\ \\ =\frac{2(x-1)-x}{2(x-1)\sqrt{x-1}}=\\ \\ \\ =\frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}

    Abbiamo scoperto che la derivata prima di f(x) è

    f'(x)=\frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}

    Essa è ben definita nel dominio di f(x) dunque non ci sono punti di non derivabilità.

    A questo punto si tratta di studiare il segno della derivata prima e di individuare i punti estremanti della funzione f(x), che saranno i candidati punti di massimo o punti di minimo della funzione stessa. Consideriamo la disequazione

    f'(x)\geq 0

    ossia 

    \frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\geq 0

    che è equivalente a

    x-2\geq 0

    perché la radice quadrata è una quantità sempre positiva nel dominio di f(x) così come lo è anche il fattore 2(x-1). Si trova che la derivata prima è positiva o nulla per

    x\geq 2

    Ricordando che ci troviamo nel dominio della funzione, concludiamo che la derivata prima è positiva per

    x> 2

    intervallo in cui la funzione f(x) è crescente, e negativa per

    x\in (1,2)

    intervallo in cui la funzione è decrescente, di conseguenza x=2 è un punto di minimo per la funzione, in particolare un punto di minimo assoluto perché f(x) non è una funzione illimitata inferiormente e tende a +\infty agli estremi del dominio.

    Il valore minimo è dato da

    f(2)=\frac{2}{\sqrt{2-1}}=2

    Con la derivata prima abbiamo concluso, ora non ci resta che calcolare la derivata seconda di f(x) applicando la regola di derivazione del quoziente a f'(x).

    \\ f''(x)=\frac{d}{dx}\left[f'(x)\right]=\\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[\frac{x-2}{2(x-1)\sqrt{x-1}}\right]= \\ \\ \\ =\frac{\frac{d}{dx}[x-2]\cdot 2(x-1)\sqrt{x-1}-(x-2)\frac{d}{dx}[2 (x-1)\sqrt{x-1}]}{[2 (x-1)\sqrt{x-1}]^2}=

    Portiamo a termine i calcoli stando attenti alla derivata del prodotto presente al numeratore

    \\=\frac{2(x-1)\sqrt{x-1}-(x-2)\cdot \left(2\sqrt{x-1}+2(x-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x-1}}\right)}{4 (x-1)^2 (x-1)}= \\ \\ \\ = \frac{2(x-1)\sqrt{x-1}-(x-2)\cdot\left(\frac{4(x-1)+2(x-1)}{2\sqrt{x-1}}\right)}{4(x-1)^3}= \\ \\ \\ = \frac{4(x-1)(x-1)-(x-2)(6x-6)}{8(x-1)^3\sqrt{x-1}}=

    Ora raccogliamo 2(x-1) al numeratore e semplifichiamolo con 8(x-1)^3

    \\ =\frac{2(x-1)[2(x-1)-3(x-2)]}{8(x-1)^3\sqrt{x-1}}= \\ \\ \\ =\frac{-x+4}{4(x-1)^2\sqrt{x-1}}

    e finalmente si giunge alla semplice espressione della derivata seconda

    f''(x)=\frac{4-x}{4(x-1)^2\sqrt{x-1}}

    Ora si tratta di studiare il segno della derivata seconda, risolvendo la disequazione

    f''(x)\ge 0

    ossia

    \frac{4-x}{4(x-1)^2\sqrt{x-1}}\ge 0

    per cui studiando il segno del numeratore e del denominatore, partendo dalla disequazione

    4-x\ge 0\to x\le 4

    Il segno del denominatore è facile da studiare: è sufficiente osservare che è sempre positivo nel dominio della funzione perché prodotto di quantità positive.

    In definitiva, f''(x) è

    - positiva nell'intervallo (1, 4);

    - nulla per x=4;

    - negativa nell'intervallo (4, +\infty).

    La funzione di partenza, ossia f(x):

    - è convessa nell'intervallo (1,4);

    - è concava nell'intervallo (4, +\infty);

    - ha un punto di flesso per x=4.

    Con le informazioni in nostro possesso possiamo disegnare il grafico di funzione. Puoi utilizzare il tool per il grafico di funzione online col quale vedere l'andamento della funzione.

    Risposta di Ifrit
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