Soluzioni
  • Ciao LinaBonfante Benvenuta su Youmath arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Allora per dimostrare che una successione è limitata devi procedere o con l'ausilio dei limiti di successione, o con dei trucchi algebrici (ove possibile)

    Partiamo:

    n\textless n+1\implies n^2\textless (n+1)^2

    sommiamo membro a membro 3

    n^2+3\textless (n+1)^2+3

    Invertiamo membro a membro ricordando che facendo in questo modo si inverte il verso della disequazione:

    \frac{1}{n^2+3}\textgreater \frac{1}{(n+1)^2+3}

    Moltiplichiamo membro a membro per 2

    \frac{2}{n^2+3}\textgreater \frac{2}{(n+1)^2+3}

    Ricordando che la funzione logaritmo con base maggiore di 1 è crescente si ha che:

    a_n=\log_8 \left(\frac{2}{n^2+3}\right)\textgreater \log_8\left(\frac{2}{(n+1)^2+3}\right)= a_{n+1}

    Questo dimostra che la successione è decrescente! Si ha quindi che:

    Il sup si verifica per il primo termine della successione:

    \sup a_n= a_0=\log_8\frac{2}{3}

    Mentre l'inf è dato da:

    \inf a_n= \lim_{n\to \infty }a_n= \lim_{n\to \infty}\log_8\left(\frac{2}{n^2+3}\right)= [\log_8(0)]= -\infty

     

    Ho messo loraritmo di 0 in parentesi quadra per indicare che è una scrittura impropria.

    Da questa analisi segue che:

    a_n è superiormente limitata dal valore \log_8\frac{2}{3} che è anche massimo.

    Mentre non è inferiormente limitata. Il limite vale - infinito. 

     

    Abbiamo finito xD

    Risposta di Ifrit
  • Ti ringrazio tantissimo, sei stato/a gentilissimo/a. Ma ti posso chiedere di spiegarmi perchè hai fatto quello che hai fatto???? Cioè, se a me capita all'esame un esercizio del genere, potresti spiegarmi come procedere???!

    Risposta di LinaBonfante
  • Eccomi (sono un ragazzo :P)

    Allora premetto che non è un metodo generale, anzi ti dico che nemmeno esiste un metodo generale per risolvere questo tipo di problemi. Ci sono però delle strategie da seguire:

    • Studi la crescenza/decrescenza della successione, 

    - se è monotona crescente  allora la successione è sicuramente limitata inferiormente dal primo valore a_0 mentre il sup è dato dal limite:

    \sup a_n=\lim_{n\to \infty}a_n, se il limite è finito allora la successione è limitata sia superiormente che inferiormente. Se invece il limite non è finito allora la successione non è limitata superiormente.

    -  se è monotona decrescente allora la successione è sicuramente limitata superiormente dal primo valore della stessa, a_0, l'estremo inferiore della successione è dato dal limite:

    \inf a_n= \lim_{n\to \infty}a_n

    Se il limite è finito allora la successione è limitata inferiormente, se invece non lo è allora la successione non è limitata inferiormente.

    Io ho utilizzato questo criterio, dopo aver dimostrato che la successione è monotona decrescente.

    Ci sono però casi molto più complicati per i quali è necessario cambiare approccio. 

    Un teorema fondamentale che può tornarti utile in questo tipo di esercizi è:

    Se una successione ammette limite finito allora è sia superiormente limitata  che inferiormente limitata.

    Poi dipende da come si presenta la successione in gioco...

    Risposta di Ifrit
  • Grazieeeeeeeee! Mi sei stato veramente di aiuto... adesso clicco "problema risolto" e posso postare l'altro esercizio????! Non so come ringraziarti! ;)

    Risposta di LinaBonfante
  • Esattamente, ci vediamo tra un po' allora xD

    Risposta di Ifrit
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