Soluzioni
  • Ciao Delta Maximus, benvenuto in YouMath! Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Gli spunti che proponi per la risoluzione dell'esercizio sono corretti. Essendo la serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1-\cos{\left[\left(\frac{1}{n}\right)^{\alpha}\right]}}{n^{\alpha-1}+1}}

    si osserva che, per n\to +\infty

    1-\cos{\left[\left(\frac{1}{n}\right)^{\alpha}\right]}\sim_{x\to +\infty}\frac{1}{2n^{2\alpha}}

    questo però è vero a patto che \alpha>0, in caso contrario l'argomento del coseno non è un infinitesimo e dunque non è applicabile la stima asintotica.

    Ora concentriamoci sul denominatore: se \alpha>1 allora abbiamo un infinito, quindi possiamo stimare asintoticamente

    n^{\alpha-1}+1\sim_{n\to +\infty}n^{\alpha-1}

    Mettendo tutto assieme, si vede che il termine generale della serie è dato da

    \frac{1}{2n^{2\alpha+\alpha-1}}

    cosicché, dal confronto con la serie armonica generalizzata, si vede che abbiamo convergenza se

    3\alpha-1>1

    cioè

    \alpha>\frac{2}{3}

    Di conseguenza abbiamo convergenza se \alpha>1.

    Se prendiamo \alpha\in (0,1), il denominatore è asintotico ad 1, quindi ci limitiamo solamente a considerare

    \frac{1}{2n^{2\alpha}}

    per cui abbiamo convergenza se \alpha>1/2.

    Fin qui è tutto chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Mi devi perdonare Omega, ho sbagliato a scriverti il numeratore. E' tutto elevato ad alpha, cioè:

    (1-cos(1/n))^α.

    Per il resto nel ragionamento sei stato molto chiaro.

    PS= Grazie dell'accoglienza :)

    Risposta di
  • Capita, nessun problema! Wink

    Osserva che fortunatamente cambia molto poco: infatti l'unica differenza si manifesta nella costante moltiplicativa dello sviluppo, più precisamente

    \left[1-\cos{\left(\frac{1}{n}\right)}\right]^{\alpha}\sim \left[\frac{1}{2n^2}\right]^{\alpha}=\frac{1}{2^{alpha}}\frac{1}{n^{2\alpha}}

    In realtà si semplifica lo studio perché non si rende più necessaria la distinzione tra il caso \alpha>0 per poter applicare la stima asintotica sul numeratore (nota che, se l'esponente \alpha fosse stato riferito all'agomento del coseno, non avremmo potuto applicare la stima asintotica per n\to +\infty).

    Alla luce della modifica, però, possiamo sempre e comunque scrivere per stima asintotica sul termine generale

    \frac{1}{n^{2\alpha}(n^{\alpha-1}+1)}

    tralasciando volontariamente la costante moltiplicativa che dipende sì da \alpha ma che non ha alcun effetto sulla convergenza/divergenza della serie.

    Dobbiamo solamente distinguere tra il caso in cui \alpha>1, per il quale il termine della parentesi genera un infinito, e il caso \alpha\leq 1, in cui il termine tra parentesi è una costante positiva.

    Nel primo caso, per confronto con la serie armonica generalizzata, troviamo che la serie converge se

    \alpha>\frac{2}{3}, dunque \alpha>1 alla luce della limitazione sul parametro.

    Nel secondo basta richiedere che

    2\alpha>1

    perché ci limitiamo al termine fuori dalle parentesi, e troviamo

    \alpha>\frac{1}{2}

    Dalle due "soluzioni", si vede che abbiamo convergenza per \alpha>1/2.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie Omega, chiaro come l'acqua! Mi sei stato di grandissimo aiuto :) Ciao ciao

    Risposta di
  • E' un piacere! Torna a trovarci quando vuoi :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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