Dimostrare che una funzione continua è integrabile

Giuseppe Carichino (Galois) -

Cosa stabilisce il teorema di integrabilità delle funzioni continue, e come si dimostra? Più esplicitamente vorrei sapere come si dimostra che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann.

La dimostrazione che propone il mio libro salta un sacco di passaggi e non ho capito quasi nulla, dunque vi chiedo di scrivere una dimostrazione che sia quanto più dettagliata possibile.

Soluzione

Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.

Teorema di integrabilità delle funzioni continue

Siano a,b ∈ R due numeri reali, con a < b. Se f:[a, b] → R è una funzione continua su [a,b], allora f è Riemann-integrabile su [a, b].

Dimostrazione

Per ipotesi sappiamo che la funzione f:[a,b] → R è continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b], con a < b, e dobbiamo dimostrare che f è una funzione integrabile secondo Riemann su [a,b].

In accordo con il teorema delle funzioni integrabili su un intervallo, basta provare che per ogni ε > 0 esiste una decomposizione σ dell'intervallo [a,b] tale che la differenza tra somme superiori e somme inferiori è minore di ε, ossia

S(f, σ)-s(f,σ) < ε

Procediamo!

Poiché f è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine Cantor f è uniformemente continua, quindi fissato ε > 0 esiste δ > 0 tale che

|f(x)-f(y)| < ε

per ogni x, y∈ [a, b] che soddisfano la condizione |x-y| < δ.

Data l'arbitrarietà di ε possiamo sostituirlo considerando (ε)/(b-a) al posto del ε originario, e scrivere

|f(x)-f(y)| < (ε)/(b-a) (•)

Sia ora σ la decomposizione dell'intervallo [a, b] definita dai seguenti n+1 punti distinti

a = x_0 < x_1 < x_2 < ··· < x_n = b

e tale che |x_k-x_(k-1)| < δ per ogni k = 1,2,...,n.

Indichiamo con m_k l'estremo inferiore della funzione f nell'intervallo [x_(k-1), x_k)

m_k = ∈f_(x∈[x_(k-1), x_k))f(x)

e con M_k l'estremo superiore della funzione f nell'intervallo [x_(k-1), x_k)

M_k = sup_(x∈[x_(k-1), x_k))f(x)

Dalla relazione (•) segue che

M_k-m_k < (ε)/(b-a) ∀ k = 1,2,...,n

Il valore assoluto è stato omesso perché M_k ≥ m_k per ogni k = 1,2,...,n, e quindi la differenza M_k-m_k è non negativa.

Moltiplichiamo ambo i membri per (x_k-x_(k-1)), che per com'è stata definita la decomposizione σ è quantità sicuramente positiva

(M_k-m_k)(x_k-x_(k-1)) < (ε)/(b-a)(x_k-x_(k-1)) ∀ k = 1,2,...,n

Sommiamo membro a membro queste n relazioni e otteniamo la seguente disuguaglianza:

Σ_(k = 1)^(n)(M_k-m_k)(x_k-x_(k-1)) < Σ_(k = 1)^(n)(ε)/(b-a)(x_k-x_(k-1))

Svolgiamo il prodotto nella prima sommatoria e portiamo la costante moltiplicativa (ε)/(b-a) fuori dalla seconda

Σ_(k = 1)^(n)(M_k(x_k-x_(k-1))-m_k(x_k-x_(k-1))) < (ε)/(b-a)·Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1))

Riscriviamo la disuguaglianza nel modo seguente:

Σ_(k = 1)^(n) M_k(x_k-x_(k-1))-Σ_(k = 1)^(n) m_k(x_k-x_(k-1)) < (ε)/(b-a)·Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1)) (☆)

Osserviamo ora che, per definizione di somme superiori e di somme inferiori:

Σ_(k = 1)^(n) M_k(x_k-x_(k-1)) = S(f,σ) ; Σ_(k = 1)^(n) m_k(x_k-x_(k-1)) = s(f,σ)

Inoltre

 Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1)) = (x_1-x_0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+...+(x_n-x_(n-1)) = x_n-x_0 = b-a

Sostituiamo in (☆) e otteniamo

S(f,σ)-s(f,σ) < (ε)/(b-a)·(b-a)

ossia

S(f,σ)-s(f,σ) < ε

che è proprio quello che volevamo provare!

***

Per approfondire puoi leggere la lezione sull'integrale definito secondo Riemann dove, tra le altre cose, trovi anche le definizioni di somme superiori e somme inferiori di Riemann. ;)

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