Soluzioni
  • Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.

    Teorema di integrabilità delle funzioni continue

    Siano a,b ∈ R due numeri reali, con a < b. Se f:[a, b] → R è una funzione continua su [a,b], allora f è Riemann-integrabile su [a, b].

    Dimostrazione

    Per ipotesi sappiamo che la funzione f:[a,b] → R è continua sull'intervallo chiuso e limitato [a,b], con a < b, e dobbiamo dimostrare che f è una funzione integrabile secondo Riemann su [a,b].

    In accordo con il teorema delle funzioni integrabili su un intervallo, basta provare che per ogni ε > 0 esiste una decomposizione σ dell'intervallo [a,b] tale che la differenza tra somme superiori e somme inferiori è minore di ε, ossia

    S(f, σ)-s(f,σ) < ε

    Procediamo!

    Poiché f è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine Cantor f è uniformemente continua, quindi fissato ε > 0 esiste δ > 0 tale che

    |f(x)-f(y)| < ε

    per ogni x, y∈ [a, b] che soddisfano la condizione |x-y| < δ.

    Data l'arbitrarietà di ε possiamo sostituirlo considerando (ε)/(b-a) al posto del ε originario, e scrivere

    |f(x)-f(y)| < (ε)/(b-a) (•)

    Sia ora σ la decomposizione dell'intervallo [a, b] definita dai seguenti n+1 punti distinti

    a = x_0 < x_1 < x_2 < ··· < x_n = b

    e tale che |x_k-x_(k-1)| < δ per ogni k = 1,2,...,n.

    Indichiamo con m_k l'estremo inferiore della funzione f nell'intervallo [x_(k-1), x_k)

    m_k = ∈f_(x∈[x_(k-1), x_k))f(x)

    e con M_k l'estremo superiore della funzione f nell'intervallo [x_(k-1), x_k)

    M_k = sup_(x∈[x_(k-1), x_k))f(x)

    Dalla relazione (•) segue che

    M_k-m_k < (ε)/(b-a) ∀ k = 1,2,...,n

    Il valore assoluto è stato omesso perché M_k ≥ m_k per ogni k = 1,2,...,n, e quindi la differenza M_k-m_k è non negativa.

    Moltiplichiamo ambo i membri per (x_k-x_(k-1)), che per com'è stata definita la decomposizione σ è quantità sicuramente positiva

    (M_k-m_k)(x_k-x_(k-1)) < (ε)/(b-a)(x_k-x_(k-1)) ∀ k = 1,2,...,n

    Sommiamo membro a membro queste n relazioni e otteniamo la seguente disuguaglianza:

    Σ_(k = 1)^(n)(M_k-m_k)(x_k-x_(k-1)) < Σ_(k = 1)^(n)(ε)/(b-a)(x_k-x_(k-1))

    Svolgiamo il prodotto nella prima sommatoria e portiamo la costante moltiplicativa (ε)/(b-a) fuori dalla seconda

    Σ_(k = 1)^(n)(M_k(x_k-x_(k-1))-m_k(x_k-x_(k-1))) < (ε)/(b-a)·Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1))

    Riscriviamo la disuguaglianza nel modo seguente:

    Σ_(k = 1)^(n) M_k(x_k-x_(k-1))-Σ_(k = 1)^(n) m_k(x_k-x_(k-1)) < (ε)/(b-a)·Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1)) (☆)

    Osserviamo ora che, per definizione di somme superiori e di somme inferiori:

    Σ_(k = 1)^(n) M_k(x_k-x_(k-1)) = S(f,σ) ; Σ_(k = 1)^(n) m_k(x_k-x_(k-1)) = s(f,σ)

    Inoltre

     Σ_(k = 1)^(n)(x_k-x_(k-1)) = (x_1-x_0)+(x_2-x_1)+(x_3-x_2)+...+(x_n-x_(n-1)) = x_n-x_0 = b-a

    Sostituiamo in (☆) e otteniamo

    S(f,σ)-s(f,σ) < (ε)/(b-a)·(b-a)

    ossia

    S(f,σ)-s(f,σ) < ε

    che è proprio quello che volevamo provare!

    ***

    Per approfondire puoi leggere la lezione sull'integrale definito secondo Riemann dove, tra le altre cose, trovi anche le definizioni di somme superiori e somme inferiori di Riemann. ;)

    Risposta di Galois
 
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