Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.
Teorema di integrabilità delle funzioni continue
Siano
due numeri reali, con
. Se
è una funzione continua su
, allora
è Riemann-integrabile su
.
Dimostrazione
Per ipotesi sappiamo che la funzione
è continua sull'intervallo chiuso e limitato
, con
, e dobbiamo dimostrare che
è una funzione integrabile secondo Riemann su
.
In accordo con il teorema delle funzioni integrabili su un intervallo, basta provare che per ogni
esiste una decomposizione
dell'intervallo
tale che la differenza tra somme superiori e somme inferiori è minore di
, ossia
Procediamo!
Poiché
è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine Cantor
è uniformemente continua, quindi fissato
esiste
tale che
per ogni
che soddisfano la condizione
.
Data l'arbitrarietà di
possiamo sostituirlo considerando
al posto del
originario, e scrivere
Sia ora
la decomposizione dell'intervallo
definita dai seguenti
punti distinti
e tale che
per ogni
.
Indichiamo con
l'estremo inferiore della funzione
nell'intervallo
e con
l'estremo superiore della funzione
nell'intervallo
Dalla relazione
segue che
Il valore assoluto è stato omesso perché
per ogni
, e quindi la differenza
è non negativa.
Moltiplichiamo ambo i membri per
, che per com'è stata definita la decomposizione
è quantità sicuramente positiva
Sommiamo membro a membro queste
relazioni e otteniamo la seguente disuguaglianza:
Svolgiamo il prodotto nella prima sommatoria e portiamo la costante moltiplicativa
fuori dalla seconda
Riscriviamo la disuguaglianza nel modo seguente:
Osserviamo ora che, per definizione di somme superiori e di somme inferiori:
Inoltre
Sostituiamo in
e otteniamo
ossia
che è proprio quello che volevamo provare!
***
Per approfondire puoi leggere la lezione sull'integrale definito secondo Riemann dove, tra le altre cose, trovi anche le definizioni di somme superiori e somme inferiori di Riemann. ;)
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