Dimostrare che una funzione continua è integrabile
Cosa stabilisce il teorema di integrabilità delle funzioni continue, e come si dimostra? Più esplicitamente vorrei sapere come si dimostra che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann.
La dimostrazione che propone il mio libro salta un sacco di passaggi e non ho capito quasi nulla, dunque vi chiedo di scrivere una dimostrazione che sia quanto più dettagliata possibile.
Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.
Teorema di integrabilità delle funzioni continue
Siano 
due numeri reali, con 
. Se ![f:[a, b] → R](data:image/gif;base64,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){kind=small}
è una funzione continua su ![[a,b]](data:image/gif;base64,R0lGODlhIQASAOMAAP///wAAACIiIjAwMIqKimJiYnR0dBYWFgQEBMzMzLa2tp6enubm5lBQUEBAQAwMDCH5BAEAAAAALAAAAAAhABIAAAScEAAxiLw466KuGYMUaqSmCIE2jmUrLYIqunTTyABLk8eC64BCwUA4uBgBAqFgmeUwAoMImCEEEhIEw8kyGEXSluOW9T3PAEQ4jW09zMjOeZS4ShSIY2ALsF5WdykSBTFmGgl5EgJkcxdaAAwHN1IJA3wXDy9fXBcLDUqVBVsKAWsvnwUZgDt9rI2sTTurNAuXNLMusbKKFa40HwMRADs=){kind=small}
, allora 
è Riemann-integrabile su .
Dimostrazione
Per ipotesi sappiamo che la funzione è continua sull'intervallo chiuso e limitato , con , e dobbiamo dimostrare che è una funzione integrabile secondo Riemann su .
In accordo con il teorema delle funzioni integrabili su un intervallo, basta provare che per ogni 
esiste una decomposizione 
dell'intervallo tale che la differenza tra somme superiori e somme inferiori è minore di 
, ossia
Procediamo!
Poiché è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine Cantor è uniformemente continua, quindi fissato esiste 
tale che
per ogni ![x, y∈ [a, b]](data:image/gif;base64,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){kind=small}
che soddisfano la condizione 
.
Data l'arbitrarietà di possiamo sostituirlo considerando 
al posto del originario, e scrivere
Sia ora la decomposizione dell'intervallo definita dai seguenti 
punti distinti
e tale che 
per ogni 
.
Indichiamo con 
l'estremo inferiore della funzione nell'intervallo 
e con 
l'estremo superiore della funzione nell'intervallo
Dalla relazione 
segue che
Il valore assoluto è stato omesso perché 
per ogni , e quindi la differenza 
è non negativa.
Moltiplichiamo ambo i membri per 
, che per com'è stata definita la decomposizione è quantità sicuramente positiva
Sommiamo membro a membro queste 
relazioni e otteniamo la seguente disuguaglianza:
Svolgiamo il prodotto nella prima sommatoria e portiamo la costante moltiplicativa fuori dalla seconda
Riscriviamo la disuguaglianza nel modo seguente:
Osserviamo ora che, per definizione di somme superiori e di somme inferiori:
Inoltre
Sostituiamo in 
e otteniamo
ossia
che è proprio quello che volevamo provare!
***
Per approfondire puoi leggere la lezione sull'integrale definito secondo Riemann dove, tra le altre cose, trovi anche le definizioni di somme superiori e somme inferiori di Riemann. ;)