Dimostrare che una funzione continua è integrabile

Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.

Teorema di integrabilità delle funzioni continue

Siano due numeri reali, con . Se è una funzione continua su , allora è Riemann-integrabile su .

Dimostrazione

Per ipotesi sappiamo che la funzione è continua sull'intervallo chiuso e limitato , con , e dobbiamo dimostrare che è una funzione integrabile secondo Riemann su .

In accordo con il teorema delle funzioni integrabili su un intervallo, basta provare che per ogni esiste una decomposizione dell'intervallo tale che la differenza tra somme superiori e somme inferiori è minore di , ossia

Procediamo!

Poiché è una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, per il teorema di Heine Cantor è uniformemente continua, quindi fissato esiste tale che

per ogni che soddisfano la condizione .

Data l'arbitrarietà di possiamo sostituirlo considerando al posto del originario, e scrivere

Sia ora la decomposizione dell'intervallo definita dai seguenti punti distinti

e tale che per ogni .

Indichiamo con l'estremo inferiore della funzione nell'intervallo

e con l'estremo superiore della funzione nell'intervallo

Dalla relazione segue che

Il valore assoluto è stato omesso perché per ogni , e quindi la differenza è non negativa.

Moltiplichiamo ambo i membri per , che per com'è stata definita la decomposizione è quantità sicuramente positiva

Sommiamo membro a membro queste relazioni e otteniamo la seguente disuguaglianza:

Svolgiamo il prodotto nella prima sommatoria e portiamo la costante moltiplicativa fuori dalla seconda

Riscriviamo la disuguaglianza nel modo seguente:

Osserviamo ora che, per definizione di somme superiori e di somme inferiori:

Inoltre

Sostituiamo in e otteniamo

ossia

che è proprio quello che volevamo provare!

***

Per approfondire puoi leggere la lezione sull'integrale definito secondo Riemann dove, tra le altre cose, trovi anche le definizioni di somme superiori e somme inferiori di Riemann. ;)