Soluzioni
  • Il teorema per l'integrabilità delle funzioni continue stabilisce che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile secondo Riemann, e la dimostrazione pone le proprie radici nella nozione di funzione uniformemente continua.

    Teorema (una funzione continua è integrabile)

    Sia f:[a, b]\to \mathbb{R} una funzione continua in [a, b] allora f è Riemann-integrabile in [a, b]

    Dimostrazione

    Per ipotesi sappiamo che la funzione è continua in un chiuso e limitato [a, b] con a<b.

    Per il teorema di Heine Cantor la funzione è uniformemente continua, pertanto fissato \varepsilon>0 esiste \delta>0 tale che per ogni x, y\in [a, b] per i quali vale la relazione |x-y|<\delta si ha:

    |f(x)-f(y)|<\varepsilon

    Data l'arbitrarietà di \varepsilon possiamo sostituirlo considerando \frac{\varepsilon}{b-a} al posto del \varepsilon originario, e scrivere

    |f(x)-f(y)|<\frac{\varepsilon}{b-a}

    Sia \mathcal{P} una partizione dell'intervallo [a, b]

    \mathcal{P}=\{a=x_0, x_1, x_2,\cdots, x_n= b\}

    tale che \mbox{diam}(\mathcal{P})<\delta. Posto:

    \\ m_k= \inf_{x\in[x_{k-1}, x_k]}f(x)}\\ \\ M_k=\sup_{x\in[x_{k-1}, x_k]}f(x)

    si ha che:

    M_k-m_k<\frac{\varepsilon}{b-a}\quad \forall k=1, \cdots, n

    Pertanto possiamo maggiorare la differenza delle somme di Rieman superiori e inferiori nel modo seguente

    S_{P}-s_{P}= \sum_{k=1}^{n}(M_k-m_k)(x_{k}-x_{k-1})<\frac{\varepsilon}{b-a}\sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})= \varepsilon

    dove nell'ultimo passaggio ho semplicemente applicato la definizione di partizione dell'intervallo.

    \sum_{k=1}^n (x_k-x_{k-1})=b-a

    Fine! La maggiorazione che abbiamo ricavato è proprio la condizione richiesta dalla definizione di funzione integrabile secondo Riemann sull'intervallo [a,b].

    Risposta di Ifrit
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