Limite con distinzione da sinistra e da destra?

Devo calcolare il limite di un prodotto da destra e da sinistra, stando almeno al suggerimento fornito dal testo, però non riesco a calcolarlo, potreste cortesemente aiutarmi?

 

\lim_{x\to 1}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}

In Uni - Analisi - Domanda di peppe30

Soluzioni

  • Prima di calcolare il limite

    \lim_{x\to 1}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}

    è necessario effettuare una precisazione.

    Quando x\to 1 il denominatore della frazione presente all'esponente della funzione esponenziale diviene infinitesimo e in accordo con la teoria sul calcolo dei limiti destro e sinistro, saremo costretti ad analizzare due limiti distinti:

    \\ \lim_{x\to 1^{-}}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}} \\ \\ \mbox{e} \\ \\ \lim_{x\to 1^{+}}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}

    Il calcolo del limite sinistro è praticamente immediato e il risultato si deduce per sostituzione diretta grazie alle regole dell'algebra degli infiniti e infinitesimi e dall'andamento della funzione esponenziale a -\infty

    \lim_{x\to 1^{-}}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}=\left[0\cdot e^{\frac{1}{0^{-}}}\right]=[0\cdot e^{-\infty}]=0

    Per quanto riguarda il limite destro

    \lim_{x\to 1^{+}}(x-1)e^{\frac{1}{x-1}}=

    è sufficiente riscrivere la funzione all'interno del limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to 1^{+}}\frac{e^{\frac{1}{x-1}}}{\frac{1}{x-1}}=(\bullet)

    e calcolare il limite per sostituzione ponendo

    t=\frac{1}{x-1}

    Osserviamo che t\to +\infty\ \mbox{per}\ x\to 1^{+}, così che la sostituzione permette di passare al limite equivalente

    \lim_{t\to +\infty}\frac{e^{t}}{t}=+\infty

    il cui risultato è giustificato mediante il confronto tra infiniti: la funzione esponenziale è un infinito di ordine superiore rispetto ad una potenza per x\to +\infty. Osserviamo che l'ultimo limite si può essere calcolato applicando il teorema di de l'Hopital.

    Risposta di Ifrit
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