Soluzioni
  • Prima di rispondere ai due quesiti circa la diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità ricordiamo la definizione di matrice diagonalizzabile.

    Una matrice quadrata A di ordine n ≥ 1 è diagonalizzabile se e solo se è simile a una matrice diagonale D di ordine n, il che vuol dire che esiste una matrice invertibile P tale che

    D = P^(-1)AP

    dove P^(-1) è l'inversa di P.

    Ciò premesso, osserviamo che sia la matrice identità di ordine n ≥ 1

    Id_n = [1 0 ··· 0 ; 0 1 ··· 0 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 0 0 ··· 1]

    che la matrice nulla di ordine n ≥ 1

    O_n = [0 0 ··· 0 ; 0 0 ··· 0 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 0 0 ··· 0]

    sono già matrici diagonali, infatti tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli.

    Ciò basta a concludere che sia la matrice identità che la matrice nulla di ordine n ≥ 1 sono diagonalizzabili, dunque entrambi i quesiti sono veri.

    Sebbene ciò sia sufficiente a concludere l'esercizio possiamo dire qualcosa in più:

    - la matrice diagonale D simile a Id_n e una matrice diagonalizzante P sono la matrice identità stessa, infatti

    Id_n (D) = Id_n^(-1) (P^(-1)) Id_n (A) Id_n (P)

    - La matrice diagonale D simile a O_n è la stessa matrice nulla, mentre una sua matrice diagonalizzante P è Id_n, tant'è vero che

    O_n (D) = Id_n^(-1) (P^(-1)) O_n (A) Id_n (P)

    Risposta di Galois
 
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