Diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità

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La matrice identità e la matrice nulla sono diagonalizzabili? Nella prova intermedia di Algebra Lineare c'erano due quesiti vero o falso sulla diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità a cui non ho saputo rispondere, ma ho solo tirato a indovinare. Potreste aiutarmi a fare chiarezza?

 

Rispondere ai seguenti quesiti giustificando la risposta:

 

1) La matrice identità di ordine n \ge 1 è diagonalizzabile. Vero o falso?

 

2) La matrice quadrata nulla di ordine n \ge 1 è diagonalizzabile. Vero o falso?

Domanda di xavier310

 
Soluzioni

  • Prima di rispondere ai due quesiti circa la diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità ricordiamo la definizione di matrice diagonalizzabile.

    Una matrice quadrata A di ordine n \ge 1 è diagonalizzabile se e solo se è simile a una matrice diagonale D di ordine n, il che vuol dire che esiste una matrice invertibile P tale che

    D=P^{-1}AP

    dove P^{-1} è l'inversa di P.

    Ciò premesso, osserviamo che sia la matrice identità di ordine n \ge 1

    \mbox{Id}_n = \begin{pmatrix}1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}

    che la matrice nulla di ordine n \ge 1

    O_n = \begin{pmatrix}0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0\end{pmatrix}

    sono già matrici diagonali, infatti tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli.

    Ciò basta a concludere che sia la matrice identità che la matrice nulla di ordine n \ge 1 sono diagonalizzabili, dunque entrambi i quesiti sono veri.

    Sebbene ciò sia sufficiente a concludere l'esercizio possiamo dire qualcosa in più:

    - la matrice diagonale D simile a \mbox{Id}_n e una matrice diagonalizzante P sono la matrice identità stessa, infatti

    \underbrace{\mbox{Id}_n}_{D} = \underbrace{\mbox{Id}_n^{-1}}_{P^{-1}} \ \underbrace{\mbox{Id}_n}_{A} \ \underbrace{\mbox{Id}_n}_{P}

    - La matrice diagonale D simile a O_n è la stessa matrice nulla, mentre una sua matrice diagonalizzante P è \mbox{Id}_n, tant'è vero che

    \underbrace{O_n}_{D} = \underbrace{\mbox{Id}_n^{-1}}_{P^{-1}} \ \underbrace{O_n}_{A} \ \underbrace{\mbox{Id}_n}_{P}

    Risposta di Galois
 
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