Prima di rispondere ai due quesiti circa la diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità ricordiamo la definizione di matrice diagonalizzabile.
Una matrice quadrata
di ordine
è diagonalizzabile se e solo se è simile a una matrice diagonale
di ordine
, il che vuol dire che esiste una matrice invertibile
tale che
dove
è l'inversa di
.
Ciò premesso, osserviamo che sia la matrice identità di ordine
che la matrice nulla di ordine
sono già matrici diagonali, infatti tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli.
Ciò basta a concludere che sia la matrice identità che la matrice nulla di ordine
sono diagonalizzabili, dunque entrambi i quesiti sono veri.
Sebbene ciò sia sufficiente a concludere l'esercizio possiamo dire qualcosa in più:
- la matrice diagonale
simile a
e una matrice diagonalizzante
sono la matrice identità stessa, infatti
- La matrice diagonale
simile a
è la stessa matrice nulla, mentre una sua matrice diagonalizzante
è
, tant'è vero che
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