Diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità
La matrice identità e la matrice nulla sono diagonalizzabili? Nella prova intermedia di Algebra Lineare c'erano due quesiti vero o falso sulla diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità a cui non ho saputo rispondere, ma ho solo tirato a indovinare. Potreste aiutarmi a fare chiarezza?
Rispondere ai seguenti quesiti giustificando la risposta:
1) La matrice identità di ordine 
è diagonalizzabile. Vero o falso?
2) La matrice quadrata nulla di ordine è diagonalizzabile. Vero o falso?
Prima di rispondere ai due quesiti circa la diagonalizzabilità della matrice nulla e della matrice identità ricordiamo la definizione di matrice diagonalizzabile.
Una matrice quadrata
di ordine è diagonalizzabile se e solo se è simile a una matrice diagonale 
di ordine 
, il che vuol dire che esiste una matrice invertibile 
tale che
dove
è l'inversa di .Ciò premesso, osserviamo che sia la matrice identità di ordine
![Id_n = [1 0 ··· 0 ; 0 1 ··· 0 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 0 0 ··· 1]](/images/joomlatex/0/5/05e81d0b7730c40ca54ff8e56d200525.gif)
che la matrice nulla di ordine
![O_n = [0 0 ··· 0 ; 0 0 ··· 0 ; ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ; 0 0 ··· 0]](/images/joomlatex/6/a/6a1a465507d387e518b134081ef5b870.gif)
sono già matrici diagonali, infatti tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli.
Ciò basta a concludere che sia la matrice identità che la matrice nulla di ordine
sono diagonalizzabili, dunque entrambi i quesiti sono veri.Sebbene ciò sia sufficiente a concludere l'esercizio possiamo dire qualcosa in più:
- la matrice diagonale
simile a 
e una matrice diagonalizzante sono la matrice identità stessa, infatti
- La matrice diagonale
simile a 
è la stessa matrice nulla, mentre una sua matrice diagonalizzante è , tant'è vero che
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