Soluzioni
  • L'incremento percentuale, o percentuale di incremento, esprime la variazione di una grandezza sotto forma di percentuale; in particolare l'incremento percentuale è una variazione percentuale positiva della misura della grandezza.

    Nel caso di una variazione percentuale negativa si parla invece di decremento percentuale.

    Ad esempio, conoscendo l'aumento del prezzo di un oggetto, l'aumento della popolazione di uno Stato, l'incremento del prezzo della benzina e così via, possiamo esprimere sotto forma di percentuale tali variazioni ottenendone l'incremento percentuale.

    Formula per il calcolo dell'incremento percentuale

    Per calcolare l'incremento percentuale di una grandezza abbiamo bisogno di conoscere il valore iniziale ed il valore finale delle misure di tale grandezza. Per fissare le idee supponiamo che x sia una grandezza ed indichiamo con:

    x_i il suo valore iniziale;

    x_f il suo valore finale.

    La formula per l'incremento percentuale è esattamente quella che abbiamo studiato per il calcolo della variazione percentuale. Abbiamo due varianti del tutto equivalenti:

    \\ \mbox{Variazione percentuale} = \left[\left(\frac{x_f}{x_i} \cdot 100\right)-100\right]\% \\ \\ \mbox{oppure} \\ \\ \mbox{Variazione percentuale} = \left(\frac{x_f - x_i}{x_i} \cdot 100 \right)\%

    Osserviamo che la seconda formula si ottiene dalla prima raccogliendo a fattor comune il 100 ed eseguendo una semplice differenza, infatti:

    \\ \mbox{Incremento percentuale}= \left[\left(\frac{x_f}{x_i} \cdot 100\right)-100\right]\% = \\ \\ \\ = \left[100 \cdot \left(\frac{x_f}{x_i}-1\right)\right]\% = \left[100 \cdot \left(\frac{x_f-x_i}{x_i}\right)\right]\% = \left(\frac{x_f - x_i}{x_i} \cdot 100 \right)\%

    Dalla semplice lettura dei dati sappiamo già in anticipo se la formula della variazione percentuale si tradurrà in un incremento o in un decremento percentuale:

    - se x_f>x_i abbiamo variazione positiva perché il valore finale è maggiore del valore iniziale. In questo caso otterremo come risultato una percentuale positiva che chiameremo incremento percentuale o percentuale di incremento;

    - se x_f<x_i abbiamo variazione negativa perché il valore finale è minore del valore iniziale. In questo caso otterremo come risultato una percentuale negativa che chiameremo decremento percentuale o percentuale di decremento;

    - infine, se x_f=x_i non avremmo alcuna variazione tra il valore iniziale e quello finale e, com'è lecito aspettarsi, la formula della variazione percentuale restituirebbe una percentuale nulla.

    Esempio di calcolo di un incremento percentuale

    Dieci anni fa il prezzo medio della benzina era di 1,50 euro al litro, mentre quest'anno è di 1,80 euro al litro. Qual è l'incremento percentuale del prezzo medio della benzina negli ultimi 10 anni?

    Svolgimento: poiché il prezzo è aumentato sappiamo già che ci troviamo nel caso di una percentuale di incremento.

    Trovare l'incremento percentuale del prezzo della benzina equivale a calcolare l'incremento percentuale tra i due valori 1,50 (valore iniziale) e 1,80 (valore finale).

    Per far ciò usiamo la seconda formula

    \\ \mbox{Incremento percentuale} = \left(\frac{x_f - x_i}{x_i} \cdot 100 \right)\% = \\ \\ \\ = \left(\frac{1,80 - 1,50}{1,50}\cdot 100\right)\% = (0,2 \cdot 100)\% = 20 \%

    Quindi negli ultimi dieci anni c'è stato un incremento percentuale del 20% sul prezzo della benzina.

    A voi il compito di verificare che scegliendo di ricorrere alla prima formula si ottiene lo stesso risultato.

    Lettura consigliata: calcolo percentuale - click!

    Risposta di Galois
 
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