Come calcolare il polinomio di Taylor

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Ciao a tutti, vorrei sapere come si calcola il polinomio di Taylor di una funzione, cioè come si ricava lo sviluppo di Taylor, e se potete mostrarmi un esempio in cui si scrive da zero il polinomio. Grazie anticipatamente!

Domanda di revictor

 
Soluzioni

  • Ciao revictor arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Puoi percorrere due strade, o utilizzi la definizione del polinomio di Taylor:

    T_(n)(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f''(x_0))/(2) (x-x_0)^2+···+(f^(n)(x_0))/(n!)(x-x_0)^n

    In questo caso dovrai determinare le derivate della funzione f fino all'ordine richiesto dall'esercizio.  Valutandole nel punto x_0, determinerai i coefficienti che ti definiscono appunto il polinomio.

    Oppure impari a memoria gli sviluppi notevoli di McLaurin delle funzioni note. Fondamentali sono quelle del seno, del coseno, dell'esponenziale. 

    Grazie ad esse, con qualche trucco algebrico puoi tranquillamente scrivere agevolmente lo sviluppo di una funzione.  Io personalmente ti consiglio di imparare a memoria questi sviluppi, perché intervengono in modo massiccio sia nella risoluzione dei limiti sia nella risoluzione delle serie. Se hai domande sono qui :P

    Risposta di Ifrit

  • lfrit il fatto è proprio questo...io volevo sapere come si fa ad arrivare a quella formula che hai scritto tu. Cioè è una formula che devo applicare così come è o c'è un modo per ottenerla?

    Risposta di revictor

  • Quello che ho scritto è la formula di Taylor che devi saper applicare.

    Ti faccio un esempio abbastanza semplice:

    Vogliamo trovare il polinomio di Taylor della funzione f(x) = e^x centrato in x_0 = 1 di ordine 3.

    Per determinarlo dobbiamo calcolare le derivate della funzione fino all'ordine 3:

    f(x) = e^x ⇒ f'(x) = e^x ⇒ f''(x) = e^x ⇒ f'''(x) = e^x

    Vautiamo la funzione e le sue derivate in x_0 = 1 ottenendo:

    f(1) = e

    f'(1) = e

    f''(1) = e

    f'''(1) = e

    Il polinomio di Taylor associato alla funzione, centrato in 1 è quindi:

    T_(3)(x) = e+e(x-1)+(e)/(2)(x-1)^2+(e)/(3!)(x-1)^3

     

    Che cosa ho fatto? Ho semplicemente utilizzato la definizione di polinomio di Taylor. Ho determinato i coefficienti e sostituito i valori nella formula su scritta ;)

    Spero sia un po' più chiaro :P

    Risposta di Ifrit

  • T_(n)(x) = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(f''(x_0))/(2)(x-x_0)^2+···+(f^(n)(x_0))/(n!)(x-x_0)^n

    Come si fa ad ottenerla? Questo è il mio dilemma.

    Risposta di revictor

  • ahahah vuoi la dimostrazione? xD Non avevo capito!! Aspetta un attimo :P

    Risposta di Ifrit

  • Ecco qui la dimostrazione del Teorema di Taylor con resto di Peano. 

    Se cerchi sul forum troverai anche la dimostrazione con il resto di Lagrange :P

    Risposta di Ifrit
 
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