Soluzioni
  • Consideriamo la funzione integrale

    f(x)=\int_{1}^{x}e^{-t^2+2t}dt

    con x\in [1,+\infty). Dobbiamo mostrare che è una funzione iniettiva, senza però conoscerne esplicitamente la sua espressione analitica: è, infatti, impossibile esprimere una primitiva della funzione

    g(t)=e^{-t^2+2t}

    in termini di funzioni elementari, dunque un approccio diretto non porta a nulla di buono.

    Per dire che f(x) è effettivamente iniettiva su [1, +\infty) è sufficiente studiare la monotonia di f(x) mediante lo studio della derivata prima (come facciamo di consueto per studiare massimi e minimi) e tenere a mente che una funzione strettamente monotona in un intervallo è iniettiva.

    Non ci resta che determinare la derivata prima della funzione integrale f(x) attraverso il teorema fondamentale del calcolo integrale.

    Fissato x\in [1, +\infty) si ha che l'intervallo di integrazione è [1,x] e in esso l'integranda g(t) è continua perché composizione di funzioni continue.

    L'integranda quindi soddisfa il teorema fondamentale del calcolo integrale, il quale fornisce la strada per determinare f'(x):

    f'(x)=g(x)=e^{-x^2+2x}\mbox{ con }x\in [1, +\infty)

    Adesso studiare il segno di f'(x) è facile perché è essenzialmente una funzione esponenziale che è notoriamente positiva, dunque:

    f'(x)>0\quad\mbox{ per ogni }x\in [1, +\infty)

    Poiché la derivata di f(x) è positiva si ha che f(x) è una funzione strettamente crescente nell'intervallo [1, +\infty) e pertanto f(x) è iniettiva nell'intervallo dato.

    Ti invito a leggere la lezione sullo studio di funzione integrale, può esserti d'aiuto in futuro.

    Risposta di Ifrit
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