Soluzioni
  • Il problema richiede un po' di passaggi algebrici per essere calcolato, ma nulla di insormontabile.

    Sommando tra loro i termini simili, il limite

    \lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{|x^2-2x|+3}-\frac{x}{2}+\frac{3x}{2}\right)=

    si riscrive nella forma

    =\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{|x^2-2x|}+x\right)=(\bullet)

    e genera una forma indeterminata del tipo [+\infty-\infty]. Prima di continuare con i calcoli, è opportuno sbarazzarci del valore assoluto, studiandone il segno del suo argomento.

    Impostiamo la disequazione di secondo grado mediante la quale scopriamo per quali valori di x l'argomento del valore assoluto è non negativo:

    x^2-2x\ge 0\iff x(x-2)\ge 0\iff x\le 0\vee x\ge 2

    Poiché ci troviamo in un intorno di -\infty, la variabile x è definitivamente negativa, ossia rientriamo nel "territorio" in cui il valore assoluto sparisce senza lasciare traccia, dunque il limite da risolvere diventa

    (\bullet)=\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-2x}+x\right)=(\bullet\bullet)

    Sottolineiamo che tali passaggi algebrici non hanno ancora risolto la forma indeterminata: sono serviti esclusivamente per migliorare l'espressione del limite.

    La presenza della radice suggerisce di procedere con la razionalizzazione moltiplicando e dividendo per il termine

    \sqrt{x^2-2x+3}-x

    Scriveremo dunque

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to-\infty}\frac{(\sqrt{x^2-2x+3}+x)(\sqrt{x^2-2x+3}-x)}{\sqrt{x^2-2x+3}-x}=

    Eseguiamo il prodotto al numeratore seguendo la regola relativa al prodotto tra una somma e una differenza, sviluppiamo i quadrati e sommiamo tra loro i termini simili

    \\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{(\sqrt{x^2-2x+3})^2-x^2}{\sqrt{x^2-2x+3}-x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to-\infty}\frac{x^2-2x+3-x^2}{\sqrt{x^2-2x+3}-x}=\\ \\ \\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x+3}{\sqrt{x^2-2x+3}-x}=

    I passaggi algebrici hanno fatto sì che ci potessimo ricondurre ad una forma di indecisione del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere risolta mediante il confronto tra infiniti, più raccoglieremo gli infiniti di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore.

    Al numeratore mettiamo in evidenza x, al denominatore mettiamo in evidenza x^2 nel radicando

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{x^2\left(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}-x}=

    Il prossimo passaggio consiste nell'applicare la proprietà delle radici sul prodotto con cui possiamo esprimere la radice quadrata di un prodotto come il prodotto delle radici quadrate dei singoli fattori, a patto che quest'ultimi siano non negativi

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{x^2}\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}-x}=(\bullet\bullet\bullet)

    Sfruttiamo la relazione fondamentale che lega le radici con il valore assoluto

    \sqrt{x^2}=|x|\ \ \ \mbox{per ogni}\ x\in\mathbb{R}

    grazie alla quale il limite si esprime come segue:

    (\bullet\bullet\bullet)=\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}-x}=

    Osserviamo che x\to-\infty conseguentemente è una variabile definitivamente negativa e la definizione di valore assoluto assicura che |x|=-x per x negativo, conseguentemente siamo autorizzati a scrivere il limite come

    =\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{-x\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}-x}=

    Siamo quasi in dirittura d'arrivo: raccogliamo totalmente -x al denominatore e semplifichiamola in seguito con quella al numeratore, prestando particolare attenzione ai segni.

    \\ =\lim_{x\to-\infty}\frac{x\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{-x\left(\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+1\right)}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to-\infty}\frac{-\left(-2+\frac{3}{x}\right)}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}+1}=\frac{2}{2}=1

    Il risultato si ottiene osservando che il numeratore tende a 2 così come tende a 2 il denominatore.

    Risposta di Ifrit
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