Soluzioni
  • Ciao frascatano arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • \int \frac{(x^2+1) x}{x^4+4x^2+7}dx

    Integriamo con la sostituzione da te proposta, è ottimale:

    x^2 = t \implies 2xdx= dt \implies xdx= \frac{1}{2}dt

    Grazie a questa sostituzione l'integrale diventa:

    \frac{1}{2}\int \frac{t+1}{t^2+4t+7}dt

    Moltiplichiamo e dividiamo per due così che al numeratore si possa costruire la derivata del denominatore:

    \frac{1}{4}\int \frac{2t+2}{t^2+4t+7}dt

    aggiungiamo e sottraiamo 2:

    \frac{1}{4}\int \frac{2t+4-2}{t^2+4t+7}dt

    Spezziamo la frazione:

    \frac{1}{4}\left(\int \frac{2t+4}{t^2+4t+7}dt-\int\frac{2}{t^2+4t+7}dt\right)

    Il primo integrale è immediato, si presenta nella forma:

    \int \frac{f'(t)}{f(t)}dt=\ln|f(t)|+c

    Quindi:

    \int \frac{2t+4}{t^2+4t+7}dt= \ln|t^2+4t+7|+c

    Il secondo integrale si risolve riconducendosi all'arcotangente:

    \int\frac{2}{t^2+4t+7}dt= \int\frac{2}{t^2+4t+4+3}dt=

    \int\frac{2}{(t+2)^2+3}dt= \frac{2}{3}\int \frac{1}{1+\left(\frac{t+2}{\sqrt{3}}\right)^2}dt=

    Osserva che D\left[\frac{t+2}{\sqrt{3}}\right]= \frac{1}{\sqrt{3}}

    Per ottenere l'arcotangente dividiamo e moltiplichiamo per \frac{1}{\sqrt{3}} ottenendo:

     \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\int \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+\left(\frac{t+2}{\sqrt{3}}\right)^2}dt=

    \frac{2}{\sqrt{3}}\arctan \frac{t+2}{\sqrt{3}}+c

    A questo punto sai come procedere ;) 

    Risposta di Ifrit
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