Soluzioni
  • L'interpretazione che hai dato alla traccia dell'esercizio è corretta, il nostro obiettivo è calcolare il valore di

    \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2(x)}dx

    mediante la definizione di integrale improprio di prima specie.

    Prima di procedere con il calcolo però, sarebbe opportuno analizzare con occhio critico l'integrale proposto.

    È davvero un integrale improprio di prima specie? La risposta è sì, il dominio di integrazione [a, +\infty) è un intervallo illimitato, inoltre l'integranda

    f(x)=\frac{1}{x\ln^2(x)}

    è una funzione continua in [a, +\infty)\mbox{ con }a>1, pertanto non presenta punti singolari interni all'intervallo di integrazione.

    Ora che abbiamo la certezza di ciò che abbiamo di fronte, possiamo procedere con la definizione di integrale improprio di prima specie

    \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2(x)}dx=\lim_{M\to +\infty}\int_{a}^{M}\frac{1}{x\ln^2(x)}dx

    Per il momento, lasciamo da parte il limite e concentriamoci su

    I_{M}=\int_{a}^{M}\frac{1}{x\ln^2(x)}dx

    e risolviamolo al variare di M>1. Possiamo procedere mediante il metodo di integrazione per sostituzione, ponendo

    y=\ln(x)

    e calcolando il differenziale associato, derivando membro a membro rispetto alle relative variabili

    dy=\frac{1}{x}dx

    Nel caso servisse ecco come calcolare la derivata del logaritmo. Naturalmente dobbiamo vedere anche come cambiano gli estremi di integrazione:

    - all'estremo x_0=a associamo y_0=\ln(a);

    - all'estremo x_1=M associamo y_1=\ln(M).

    Ora siamo in possesso degli elementi per riscrivere l'integrale I_{M} nella forma

    I_{M}=\int_{\ln(a)^{\ln(M)}}y^{-2}dy=

    Questo integrale è facilmente risolvibile a patto di saper calcolare l'integrale di una potenza

    =\left[-\frac{1}{y}\right]_{\ln(a)}^{\ln(M)}=\frac{1}{\ln(a)}-\frac{1}{\ln(M)}

    Osserviamo che quando M\to +\infty allora \ln(M)\to +\infty di conseguenza si ha che

    \\ \int_{a}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2(x)}dx= \\ \\ \\ =\lim_{M\to +\infty}I_M=\lim_{M\to +\infty}\left(\frac{1}{\ln(a)}-\frac{1}{\ln(M)}\right)=\frac{1}{\ln(a)}

    Poiché il limite è uguale a un numero finito, l'integrale improprio di partenza converge.

    Osservazione: quello fornito dalla traccia è a tutti gli effetti un integrale improprio notevole ed infatti lo si può trovare nella tabella degli integrali impropri notevoli.

    Risposta di Ifrit
 
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