Soluzioni
  • Prima di risolvere l'esercizio è bene fare qualche premessa teorica sullo studio della definitezza di una matrice.

    Sia A una matrice simmetrica di ordine n. A è:

    - definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

    - definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

    - semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi;

    - semidefinita negativa se e solo se i suoi autovalori sono non positivi;

    - semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;

    - semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;

    - indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.

    Inoltre, prende il nome di segnatura di A la terna

    (n_+, n_-, n_0)

    dove gli scalari n_+, n_-, n_0 indicano, rispettivamente, il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di A, ciascuno riportato con le relative molteplicità algebriche.

    Infine, per determinare il segno degli autovalori di A, e quindi studiarne la definitezza, non è necessario calcolarne il polinomio caratteristico, ma si può usare il criterio di Sylvester, che si basa sul segno di alcuni particolari minori associati ad A.

    Tale criterio afferma che A è:

    - definita positiva se e solo se tutti i suoi minori di testa sono positivi;

    - definita negativa se e solo se i minori di testa di ordine dispari sono negativi e i minori di testa di ordine pari sono positivi;

    - semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono non negativi;

    - semidefinita negativa se e solo se i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;

    - semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se esiste un minore principale nullo e i restanti sono non negativi;

    - semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se almeno uno dei minori principali è nullo, i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;

    - indefinita se non si presenta nessuno dei precedenti casi.

    Dopo questa lunga ma fondamentale premessa possiamo passare all'esercizio e calcolare il segno degli autovalori di

    A=\begin{pmatrix}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -6 & 10\end{pmatrix}

    con il criterio di Sylvester.

    A è una matrice di ordine n=3, e i minori di testa sono i determinanti delle sottomatrici A_k, con 1 \le k \le n che si ottengono da A eliminandone le ultime n-k righe e le ultime n-k colonne.

    Per k=1 il minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da A tralasciandone le ultime due righe e le ultime due colonne:

    \mbox{det}\begin{pmatrix}2\end{pmatrix} = 2

    Per k=2 il relativo minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da A con l'eliminazione dell'ultima riga e dell'ultima colonna:

    \mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 2 \\ 2 & 5\end{pmatrix}=10-4=6

    Infine, per k=3 il minore di testa è il determinante dell'intera matrice. Calcolandolo con la regola di Sarrus si ottiene che

    \mbox{det}(A)=\mbox{det}\begin{pmatrix}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -6 \\ -2 & -6 & 10\end{pmatrix}=16

    Tutti i minori di testa di A sono positivi e, per il criterio di Sylvester, A è definita positiva. Ciò vuol dire che i suoi autovalori sono tutti positivi e quindi che la segnatura di A è

    (n_+,n_-,n_0)=(3,0,0)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Galois
 
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