Segno degli autovalori di una matrice senza il polinomio caratteristico

Prima di risolvere l'esercizio è bene fare qualche premessa teorica sullo studio della definitezza di una matrice.

Sia una matrice simmetrica di ordine . è:

- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;

- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;

- semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi;

- semidefinita negativa se e solo se i suoi autovalori sono non positivi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;

- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.

Inoltre, prende il nome di segnatura di la terna

dove gli scalari indicano, rispettivamente, il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di , ciascuno riportato con le relative molteplicità algebriche.

Infine, per determinare il segno degli autovalori di , e quindi studiarne la definitezza, non è necessario calcolarne il polinomio caratteristico, ma si può usare il criterio di Sylvester, che si basa sul segno di alcuni particolari minori associati ad .

Tale criterio afferma che è:

- definita positiva se e solo se tutti i suoi minori di testa sono positivi;

- definita negativa se e solo se i minori di testa di ordine dispari sono negativi e i minori di testa di ordine pari sono positivi;

- semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono non negativi;

- semidefinita negativa se e solo se i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;

- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se esiste un minore principale nullo e i restanti sono non negativi;

- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se almeno uno dei minori principali è nullo, i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;

- indefinita se non si presenta nessuno dei precedenti casi.

Dopo questa lunga ma fondamentale premessa possiamo passare all'esercizio e calcolare il segno degli autovalori di

con il criterio di Sylvester.

è una matrice di ordine , e i minori di testa sono i determinanti delle sottomatrici , con che si ottengono da eliminandone le ultime righe e le ultime colonne.

Per il minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da tralasciandone le ultime due righe e le ultime due colonne:

Per il relativo minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da con l'eliminazione dell'ultima riga e dell'ultima colonna:

Infine, per il minore di testa è il determinante dell'intera matrice. Calcolandolo con la regola di Sarrus si ottiene che

Tutti i minori di testa di sono positivi e, per il criterio di Sylvester, è definita positiva. Ciò vuol dire che i suoi autovalori sono tutti positivi e quindi che la segnatura di è

Abbiamo finito!