Prima di risolvere l'esercizio è bene fare qualche premessa teorica sullo studio della definitezza di una matrice.
Sia
una matrice simmetrica di ordine
.
è:
- definita positiva se e solo se i suoi autovalori sono positivi;
- definita negativa se e solo se i suoi autovalori sono negativi;
- semidefinita positiva se e solo se i suoi autovalori sono non negativi;
- semidefinita negativa se e solo se i suoi autovalori sono non positivi;
- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non negativi;
- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se ammette un autovalore nullo e i restanti sono non positivi;
- indefinita se e solo se esistono almeno un autovalore positivo e uno negativo.
Inoltre, prende il nome di segnatura di
la terna
dove gli scalari
indicano, rispettivamente, il numero di autovalori positivi, negativi e nulli di
, ciascuno riportato con le relative molteplicità algebriche.
Infine, per determinare il segno degli autovalori di
, e quindi studiarne la definitezza, non è necessario calcolarne il polinomio caratteristico, ma si può usare il criterio di Sylvester, che si basa sul segno di alcuni particolari minori associati ad
.
Tale criterio afferma che
è:
- definita positiva se e solo se tutti i suoi minori di testa sono positivi;
- definita negativa se e solo se i minori di testa di ordine dispari sono negativi e i minori di testa di ordine pari sono positivi;
- semidefinita positiva se e solo se tutti i suoi minori principali sono non negativi;
- semidefinita negativa se e solo se i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;
- semidefinita positiva, ma non definita positiva, se e solo se esiste un minore principale nullo e i restanti sono non negativi;
- semidefinita negativa, ma non definita negativa, se e solo se almeno uno dei minori principali è nullo, i minori principali di ordine dispari sono non positivi e i minori principali di ordine pari sono non negativi;
- indefinita se non si presenta nessuno dei precedenti casi.
Dopo questa lunga ma fondamentale premessa possiamo passare all'esercizio e calcolare il segno degli autovalori di
con il criterio di Sylvester.
è una matrice di ordine
, e i minori di testa sono i determinanti delle sottomatrici
, con
che si ottengono da
eliminandone le ultime
righe e le ultime
colonne.
Per
il minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da
tralasciandone le ultime due righe e le ultime due colonne:
Per
il relativo minore di testa è il determinante della sottomatrice che si estrae da
con l'eliminazione dell'ultima riga e dell'ultima colonna:
Infine, per
il minore di testa è il determinante dell'intera matrice. Calcolandolo con la regola di Sarrus si ottiene che
Tutti i minori di testa di
sono positivi e, per il criterio di Sylvester,
è definita positiva. Ciò vuol dire che i suoi autovalori sono tutti positivi e quindi che la segnatura di
è
Abbiamo finito!
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