Soluzioni
  • Ciao Xeltonx, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La funzione di Dirichlet è definita come funzione indicatrice dell'insieme dei razionali: per farla breve

    \xi (x)=\left\{\begin{matrix}1&x\in\mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}\end{matrix}

    Per vedere che non è una funzione integrabile su un qualsiasi intervallo [a,b], è sufficiente osservare che non soddisfa la definizione di funzione integrabile (secondo Riemann) su un intervallo assegnato, ovvero la condizione sull'estremo superiore delle somme inferiori e sull'estremo inferiore delle somme superiori.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • "ovvero la condizione sull'estremo superiore delle somme inferiori e sull'estremo inferiore delle somme superiori."

    Io so  che una funzione è integrabile secondo reimann se la somma integrale  inferiore è = alla somma integrale superiore. Ti riferivi a questa condizione? Se si, perchè nella funzione di dirichlet non è verificata questa condizione? 

    Risposta di xeltonx
  • Esattamente. Quella la condizione di integrabilità secondo Riemann, e nel caso della funzione di Dirichlet non vale: quale che sia l'intervallo [a,b] su cui vuoi valutare l'integrabilità, non è difficile vedere che il sup delle somme inferiori ("approssimazioni dell'area da sotto al variare di tutte le possibili partizioni dell'intervallo") è zero, mentre l'inf delle somme superiori ("approssimazioni dell'area da sopra al variare di tutte le possibili partizioni dell'intervallo") è b-a.

    Ergo: la funzione di Dirichelt non è mai integrabile secondo Riemann, pur essendo una funzione quasi ovunque nulla.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • GRAZIE

    Risposta di xeltonx
 
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