Soluzioni
  • Ciao Frascatano, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Dobbiamo considerare solamente il limite

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{\ln^{a}{(x^2+4)}}}

    Per prima cosa osserviamo che a denominatore possiamo limitarci a considerare, come argomento del logaritmo

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{\ln^{a}{(x^2)}}}

    in quanto una costante additiva non ha alcun "effetto" sull'ordine di un infinito.

    Riscriviamo poi, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{\frac{1}{x}}-e^{-\frac{1}{x}}}{2^{a}\ln^{a}{(x)}}}

    e racogliamo un termine e^{-1/x} a numeratore

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{-\frac{1}{x}}\left(e^{\frac{2}{x}}-1\right)}{2^{a}\ln^{a}{(x)}}}

    Applichiamo l'equivalenza asintoica dettata dal limite notevole dell'esponenziale

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{e^{-\frac{1}{x}}\frac{2}{x}}{2^{a}\ln^{a}{(x)}}}

    Tralasciamo il primo fattore a numeratore, che è asintotico ad 1, e scriviamo il tutto come

    \lim_{x\to +\infty}{cost\frac{1}{x\ln^{a}{(x)}}}

    Quindi in base al confronto con gli integrali impropri notevoli concludiamo che l'integrale converge solamente se a>1.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok grazie mille

    Risposta di frascatano
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