Limite di una integranda con parametro (integrale improprio)

Ho un integrale improprio con integranda dipendente da un parametro, l'integrale è dato sull'intervallo da 1 a infinito: l'esercizio mi chiede di vedere per quali valori del parametro alfa il limite dell'integranda converge..come posso fare?

L'integranda è ( e^(1/x) -e^(-1/x) ) / ( ln^(a)(x^2+4) ).

Domanda di frascatano
Soluzioni

Ciao Frascatano, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Dobbiamo considerare solamente il limite

lim_(x → +∞)(e^((1)/(x))-e^(-(1)/(x)))/(ln^(a)(x^2+4))

Per prima cosa osserviamo che a denominatore possiamo limitarci a considerare, come argomento del logaritmo

lim_(x → +∞)(e^((1)/(x))-e^(-(1)/(x)))/(ln^(a)(x^2))

in quanto una costante additiva non ha alcun "effetto" sull'ordine di un infinito.

Riscriviamo poi, grazie ad una nota proprietà dei logaritmi

lim_(x → +∞)(e^((1)/(x))-e^(-(1)/(x)))/(2^(a)ln^(a)(x))

e racogliamo un termine e^(-1/x) a numeratore

lim_(x → +∞)(e^(-(1)/(x))(e^((2)/(x))-1))/(2^(a)ln^(a)(x))

Applichiamo l'equivalenza asintoica dettata dal limite notevole dell'esponenziale

lim_(x → +∞)(e^(-(1)/(x))(2)/(x))/(2^(a)ln^(a)(x))

Tralasciamo il primo fattore a numeratore, che è asintotico ad 1, e scriviamo il tutto come

lim_(x → +∞)cost(1)/(xln^(a)(x))

Quindi in base al confronto con gli integrali impropri notevoli concludiamo che l'integrale converge solamente se a > 1.

Namasté!

Risposta di Omega

ok grazie mille

Risposta di frascatano

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