Soluzioni
  • Per dimostrare che la funzione logaritmo

    f(x)=\log_{a}(x) \ \ \ \mbox{con} \  a>0\wedge a\ne 1

    è una funzione continua nel suo dominio

    Dom(f)=(0,+\infty)

    utilizziamo la definizione di funzione continua in un punto generico x_0\in Dom(f).

    Fissato \varepsilon>0, dobbiamo esibire un numero reale \delta>0 dipendente da \varepsilon tale per cui se x appartenente al dominio realizza la disuguaglianza

    |x-x_0|<\delta

    allora f(x) realizza la disuguaglianza

    |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\to |\log_{a}(x)-\log_{a}(x_0)|<\varepsilon

    Per facilitare il nostro compito, possiamo supporre, senza perdita di generalità, che la base a sia maggiore di 1.

    Fissiamo \varepsilon>0 e consideriamo la disequazione con valore assoluto:

    |\log_{a}(x)-\log_{a}(x_0)|<\varepsilon

    Grazie alle proprietà dei logaritmi, la disequazione è equivalente alla seguente

    \left|\log_{a}\left(\frac{x}{x_0}\right)\right|<\varepsilon

    e in accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto otteniamo la doppia disequazione

    -\varepsilon<\log_{a}\left(\frac{x}{x_0}\right)<\varepsilon

    Applichiamo membro a membro la funzione esponenziale con base a>1

    a^{-\varepsilon}<\frac{x}{x_0}<a^{\varepsilon}

    e, poiché il nostro obiettivo consiste nell'ottenere nel membro centrale la quantità x-x_0, aggiungiamo e sottraiamo x_0 al suo numeratore

    a^{-\varepsilon}<\frac{x-x_0+x_0}{x_0}<a^{\varepsilon}

    Distribuiamo furbescamente x_0

    a^{-\varepsilon}<\frac{x-x_0}{x_0}+1<a^{\varepsilon}

    e sottraiamo membro a membro 1

    a^{-\varepsilon}-1<\frac{x-x_0}{x_0}<a^{\varepsilon}-1

    Tenendo a mente che x_0\in Dom(f) (ossia x_0 è una quantità positiva) possiamo moltiplicare i tre membri per x_0 senza invertire i versi

    x_0(a^{-\varepsilon}-1)<x-x_0<x_0(a^{\varepsilon}-1)

    Definiamo

    \delta=\min\left\{|x_0(a^{-\varepsilon}-1)| \ ,\ |x_0(a^{\varepsilon}-1)|\right\}

    esso rappresenta il delta che realizza la definizione di continuità per la funzione logaritmo con base maggiore di 1.

    Se x soddisfa la disuguaglianza |x-x_0|<\delta allora \log_{a}(x) soddisfa la relazione

    |\log_{a}(x)-\log_{a}(x_0)|<\varepsilon

    che è esattamente quello che volevamo.

    Il ragionamento dimostrativo può essere riproposto anche per il caso 0<a<1.

    Risposta di Ifrit
 
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