Dimostrare che il logaritmo è una funzione continua

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Il nostro professore di Analisi Matematica ci ha chiesto di dimostrare che il logaritmo è una funzione continua, mediante la definizione stessa di funzione continua. Purtroppo non so come comportarmi, potreste aiutarmi?

 

Dimostrare che la funzione

 

f(x) = log_(a)(x) con a > 0 ∧ a ne 1

 

è continua nel suo dominio Dom(f) = (0,+∞)

 

Grazie.

Domanda di matteo

 
Soluzioni

  • Per dimostrare che la funzione logaritmo

    f(x) = log_(a)(x) con a > 0 ∧ a ne 1

    è una funzione continua nel suo dominio

    Dom(f) = (0,+∞)

    utilizziamo la definizione di funzione continua in un punto generico x_0∈ Dom(f).

    Fissato ε > 0, dobbiamo esibire un numero reale δ > 0 dipendente da ε tale per cui se x appartenente al dominio realizza la disuguaglianza

    |x-x_0| < δ

    allora f(x) realizza la disuguaglianza

    |f(x)-f(x_0)| < ε → |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε

    Per facilitare il nostro compito, possiamo supporre, senza perdita di generalità, che la base a sia maggiore di 1.

    Fissiamo ε > 0 e consideriamo la disequazione con valore assoluto:

    |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε

    Grazie alle proprietà dei logaritmi, la disequazione è equivalente alla seguente

    |log_(a)((x)/(x_0))| < ε

    e in accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto otteniamo la doppia disequazione

    -ε < log_(a)((x)/(x_0)) < ε

    Applichiamo membro a membro la funzione esponenziale con base a > 1

    a^(-ε) < (x)/(x_0) < a^(ε)

    e, poiché il nostro obiettivo consiste nell'ottenere nel membro centrale la quantità x-x_0, aggiungiamo e sottraiamo x_0 al suo numeratore

    a^(-ε) < (x-x_0+x_0)/(x_0) < a^(ε)

    Distribuiamo furbescamente x_0

    a^(-ε) < (x-x_0)/(x_0)+1 < a^(ε)

    e sottraiamo membro a membro 1

    a^(-ε)-1 < (x-x_0)/(x_0) < a^(ε)-1

    Tenendo a mente che x_0∈ Dom(f) (ossia x_0 è una quantità positiva) possiamo moltiplicare i tre membri per x_0 senza invertire i versi

    x_0(a^(-ε)-1) < x-x_0 < x_0(a^(ε)-1)

    Definiamo

    δ = min|x_0(a^(-ε)-1)| , |x_0(a^(ε)-1)|

    esso rappresenta il delta che realizza la definizione di continuità per la funzione logaritmo con base maggiore di 1.

    Se x soddisfa la disuguaglianza |x-x_0| < δ allora log_(a)(x) soddisfa la relazione

    |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε

    che è esattamente quello che volevamo.

    Il ragionamento dimostrativo può essere riproposto anche per il caso 0 < a < 1.

    Risposta di Ifrit
 
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