Dimostrare che il logaritmo è una funzione continua
Il nostro professore di Analisi Matematica ci ha chiesto di dimostrare che il logaritmo è una funzione continua, mediante la definizione stessa di funzione continua. Purtroppo non so come comportarmi, potreste aiutarmi?
Dimostrare che la funzione
è continua nel suo dominio
Grazie.
Per dimostrare che la funzione logaritmo
è una funzione continua nel suo dominio
utilizziamo la definizione di funzione continua in un punto generico .
Fissato , dobbiamo esibire un numero reale
dipendente da
tale per cui se
appartenente al dominio realizza la disuguaglianza
allora realizza la disuguaglianza
Per facilitare il nostro compito, possiamo supporre, senza perdita di generalità, che la base sia maggiore di 1.
Fissiamo e consideriamo la disequazione con valore assoluto:
Grazie alle proprietà dei logaritmi, la disequazione è equivalente alla seguente
e in accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto otteniamo la doppia disequazione
Applichiamo membro a membro la funzione esponenziale con base
e, poiché il nostro obiettivo consiste nell'ottenere nel membro centrale la quantità , aggiungiamo e sottraiamo
al suo numeratore
Distribuiamo furbescamente
e sottraiamo membro a membro 1
Tenendo a mente che (ossia
è una quantità positiva) possiamo moltiplicare i tre membri per
senza invertire i versi
Definiamo
esso rappresenta il delta che realizza la definizione di continuità per la funzione logaritmo con base maggiore di 1.
Se soddisfa la disuguaglianza
allora
soddisfa la relazione
che è esattamente quello che volevamo.
Il ragionamento dimostrativo può essere riproposto anche per il caso
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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