Dimostrare che il logaritmo è una funzione continua

Question

Il nostro professore di Analisi Matematica ci ha chiesto di dimostrare che il logaritmo è una funzione continua, mediante la definizione stessa di funzione continua. Purtroppo non so come comportarmi, potreste aiutarmi? Dimostrare che la funzione f(x) = log_(a)(x) con a > 0 ∧ a ne 1 è continua nel suo dominio Dom(f) = (0,+∞) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per dimostrare che la funzione logaritmo f(x) = log_(a)(x) con a > 0 ∧ a ne 1 è una funzione continua nel suo dominio Dom(f) = (0,+∞) utilizziamo la definizione di funzione continua in un punto generico x_0∈ Dom(f). Fissato ε > 0, dobbiamo esibire un numero reale δ > 0 dipendente da ε tale per cui se x appartenente al dominio realizza la disuguaglianza |x-x_0| < δ allora f(x) realizza la disuguaglianza |f(x)-f(x_0)| < ε → |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε Per facilitare il nostro compito, possiamo supporre, senza perdita di generalità, che la base a sia maggiore di 1. Fissiamo ε > 0 e consideriamo la disequazione con valore assoluto: |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε Grazie alle proprietà dei logaritmi, la disequazione è equivalente alla seguente |log_(a)((x)/(x_0))| < ε e in accordo con la teoria delle disequazioni con valore assoluto otteniamo la doppia disequazione-ε < log_(a)((x)/(x_0)) < ε Applichiamo membro a membro la funzione esponenziale con base a > 1 a^(-ε) < (x)/(x_0) < a^(ε) e, poiché il nostro obiettivo consiste nell'ottenere nel membro centrale la quantità x-x_0, aggiungiamo e sottraiamo x_0 al suo numeratore a^(-ε) < (x-x_0+x_0)/(x_0) < a^(ε) Distribuiamo furbescamente x_0 a^(-ε) < (x-x_0)/(x_0)+1 < a^(ε) e sottraiamo membro a membro 1 a^(-ε)-1 < (x-x_0)/(x_0) < a^(ε)-1 Tenendo a mente che x_0∈ Dom(f) (ossia x_0 è una quantità positiva) possiamo moltiplicare i tre membri per x_0 senza invertire i versi x_0(a^(-ε)-1) < x-x_0 < x_0(a^(ε)-1) Definiamo δ = min|x_0(a^(-ε)-1)| , |x_0(a^(ε)-1)| esso rappresenta il delta che realizza la definizione di continuità per la funzione logaritmo con base maggiore di 1. Se x soddisfa la disuguaglianza |x-x_0| < δ allora log_(a)(x) soddisfa la relazione |log_(a)(x)-log_(a)(x_0)| < ε che è esattamente quello che volevamo. Il ragionamento dimostrativo può essere riproposto anche per il caso 0 < a < 1.