Calcolare un limite con radice quadrata molto difficile

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Ciao a tutti, è un po' che sbatto la testa su questo limite. C'è una radice quadrata che mi crea parecchi problemi.

 

limite: lim_(x → -∞)√((x^3)/(x+1))+x.

 

Il risultato dovrebbe essere 1/2 ma non riesco a risolverlo...Grazie mille!

Domanda di latorre7

 
Soluzioni

  • Ciao Latorre7, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Limite molto cattivo.

    Per calcolare

    lim_(x → -∞)√((x^3)/(x+1))+x

    sommiamo e sottraiamo un termine 1 a numeratore nella radice

    lim_(x → -∞)√((x^3+1)/(x+1)-(1)/(x+1))+x

    in questo modo possiamo scomporre

    lim_(x → -∞)√(((x+1)(x^2-x+1))/(x+1)-(1)/(x+1))+x

    semplifichiamo

    lim_(x → -∞)√((x^2-x+1)-(1)/(x+1))+x

    e trascuriamo l'infinitesimo (irrilevante nella somma con l'infinito) e la costante additiva

    lim_(x → -∞)√(x^2-x)+x

    lim_(x → -∞)|x|√(1-(1)/(x))+x

    Ci troviamo in un intorno di -∞, quindi |x| = -x

    lim_(x → -∞)-x(√(1-(1)/(x))-1)

    Ora applichiamo l'equivalenza asintotica suggerita da un noto limite notevole

    lim_(x → -∞)-x(-(1)/(2)(1)/(x)) = (1)/(2)

    Abbiamo finito!

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • e procedere razionalizzando il tutto sarebbe possibile?

    Risposta di latorre7

  • Non mi pare proprio, ma potrei sbagliarmi. Tentar non nuoce: tenta la strada della razionalizzazione. Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie mille! :)

    Risposta di latorre7
 
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