Il limite
si presenta nella forma indeterminata
e si può risolvere applicando a dovere le stime asintotiche che si possono ricavare dai limiti notevoli.
Allo stato attuale delle cose la funzione presente nel limite non ricorda alcun limite notevole, ma come vedremo sarà sufficiente utilizzare la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica per comprendere come risolvere il limite.
In accordo con la relazione
possiamo esprimere il numeratore in una forma equivalente e, come vedremo, più comoda
conseguentemente il limite può essere riespresso come
Se l'esponente dell'esponenziale fosse infinitesimo saremmo autorizzati all'uso del limite notevole
da cui scaturisce la relazione asintotica
che può essere applicata nel momento in cui
. Controlliamo dunque che l'esponente dell'esponenziale sia effettivamente infinitesimo per
, ossia che il seguente limite sia effettivamente nullo:
Poiché l'argomento del seno è infinitesimo possiamo sostituire la funzione trigonometrica con il suo argomento
Grazie alla definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere il limite come
ed è 0 per confronto tra infiniti. Perfetto! L'esponente è infinitesimo pertanto abbiamo la licenza di usare la stima asintotica associata alla funzione esponenziale
e riscrivere il limite di partenza come
Ora l'esercizio è concluso.
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