Limite fratto con esponenziale a base variabile

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Vorrei sapere come posso risolvere il limite in cui è presente una funzione esponenziale a base variabile e una funzione trigonometrica. Il limite è:

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{\sin(x)}-1}{x}

 

Grazie.

Domanda di i.chirulli

 
Soluzioni

  • Il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x^{\sin(x)}-1}{x}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right] e si può risolvere applicando a dovere le stime asintotiche che si possono ricavare dai limiti notevoli.

     Allo stato attuale delle cose la funzione presente nel limite non ricorda alcun limite notevole, ma come vedremo sarà sufficiente utilizzare la relazione che lega la funzione esponenziale con la funzione logaritmica per comprendere come risolvere il limite.

    In accordo con la relazione

    f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln(f(x))} \ \ \ \mbox{ con }f(x)>0

    possiamo esprimere il numeratore in una forma equivalente e, come vedremo, più comoda

    x^{\sin(x)}-1=e^{\sin(x)\ln(x)}-1 \ \ \ \mbox{ con }x>0

    conseguentemente il limite può essere riespresso come

    (\bullet)=\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{\sin(x)\ln(x)}-1}{x}=(\bullet\bullet)

    Se l'esponente dell'esponenziale fosse infinitesimo saremmo autorizzati all'uso del limite notevole

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{e^{h(x)}-1}{h(x)}=1

    da cui scaturisce la relazione asintotica

    e^{h(x)}-1\sim_{h(x)\to 0}h(x)

    che può essere applicata nel momento in cui h(x)\to 0. Controlliamo dunque che l'esponente dell'esponenziale sia effettivamente infinitesimo per x\to 0^{+}, ossia che il seguente limite sia effettivamente nullo:

    \lim_{x\to 0^{+}}\sin(x)\ln(x)=

    Poiché l'argomento del seno è infinitesimo possiamo sostituire la funzione trigonometrica con il suo argomento

    =\lim_{x\to 0^{+}}x\ln(x)=

    Grazie alla definizione di potenza con esponente negativo, possiamo esprimere il limite come

    =\lim_{x\to 0^{+}}\frac{\ln(x)}{x^{-1}}=0

    ed è 0 per confronto tra infiniti. Perfetto! L'esponente è infinitesimo pertanto abbiamo la licenza di usare la stima asintotica associata alla funzione esponenziale

    e^{\sin(x)\ln(x)}-1\sim_{x\to 0}\sin(x)\ln(x)\sim_{x\to 0}x\ln(x)

    e riscrivere il limite di partenza come

    \\ (\bullet\bullet)= \lim_{x\to 0^{+}}\frac{x\ln(x)}{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)=[\ln(0^{+})]=-\infty

    Ora l'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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