Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{x^5\cdot 3^{x}+2^{x}}{x^4\cdot 4^{x}+3^{x}}=(\bullet)

    si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che possiamo sciogliere mediante il principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Naturalmente dobbiamo comprendere quali sono gli infiniti di ordine superiore e per facilitarci il compito prenderemo in esame prima il numeratore e poi il denominatore.

    Al numeratore troviamo due addendi: un'esponenziale moltiplicata per una potenza x^5\cdot 3^{x} e l'esponenziale 2^{x}. Per x\to +\infty il primo addendo è un infinito di ordine superiore rispetto al secondo, ossia

    2^{x}<< x^5\cdot 3^{x} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

    Al denominatore troviamo gli addendi x^4\cdot 4^{x}\mbox{ e }3^{x} il primo dei quali è un infinito di ordine superiore rispetto al secondo, ossia

    3^{x}<<x^4\cdot 4^{x} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

    In accordo con il principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore, possiamo scrivere il limite dato nella forma equivalente

    (\bullet)= \lim_{x\to +\infty}\frac{x^5\cdot 3^{x}}{x^4\cdot 4^{x}}=

    che mediante delle semplificazioni e l'applicazione delle proprietà delle potenze diventa

    \\ =\lim_{x\to +\infty}x\cdot\left(\frac{3}{4}\right)^{x}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to +\infty}\frac{x}{\left(\frac{4}{3}\right)^{x}}=0

    Osserviamo che il risultato è 0 per semplice confronto tra infiniti, infatti l'esponenziale con base maggiore di 1 è un infinito di ordine superiore ad ogni potenza avente esponente maggiore di 0

    x<<\left(\frac{4}{3}\right)^{x} \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
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