Soluzioni
  • Per scrivere le equazioni parametriche di una retta r abbiamo bisogno:

    - delle coordinate di un punto di passaggio P(x_{P},y_{P},z_{P});

    - di un vettore non nullo \mathbf{v}=(l,m,n) che individua la direzione della retta.

    Se possediamo queste informazioni, una rappresentazione di r è:

    r: \ Q=P+\mathbf{v}t \ \ \to \ \ \begin{cases}x=x_{P}+lt\\ y=y_{P}+mt\\ z=z_{P}+nt\end{cases} \ \mbox{con}\ t\in\mathbb{R}

    Il testo fornisce il punto di passaggio P(1,0,0) e ci informa che la retta forma angoli congruenti con gli assi coordinati, vale a dire:

    \widehat{rx}=\widehat{ry}=\widehat{rz}

    Se i tre angoli hanno la stessa ampiezza, allora i coseni direttori devono essere necessariamente uguali, per cui deve sussistere la doppia uguaglianza

    \cos(\widehat{rx})=\cos(\widehat{ry})=\cos(\widehat{rz})

    che può essere rielaborata nel sistema

    \begin{cases}\cos(\widehat{rx})=\cos(\widehat{ry})\\ \cos(\widehat{ry})=\cos(\widehat{rz})\end{cases}

    A questo punto esprimiamo i coseni direttori in termini di l,m,n. Indicati con \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} i versori della base canonica dello spazio tridimensionale, per definizione:

    - i coseni degli angoli che r forma con l'asse delle ascisse sono dati dal rapporto tra il prodotto scalare di \mathbf{v} per \mathbf{i} e il prodotto delle norme ||\mathbf{v}||, \ ||\mathbf{i}||, preceduto dai segni \pm

    \cos(\widehat{rx})=\pm\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{i}}{||\mathbf{v}|| \ ||\mathbf{i}||}=\pm\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    - i coseni degli angoli che r forma con l'asse delle ordinate sono uguali al rapporto tra il prodotto scalare di \mathbf{v} per \mathbf{j} e il prodotto delle norme ||\mathbf{v}||,\  ||\mathbf{j}||, preceduto dai segni \pm

    \cos(\widehat{ry})=\pm\frac{\mathbf{v}\cdot \mathbf{j}}{||\mathbf{v}|| \ ||\mathbf{j}||}=\pm\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    - i coseni degli angoli che r forma con l'asse delle quote sono uguali al rapporto tra il prodotto scalare di \mathbf{v} per \mathbf{k} e il prodotto delle norme ||\mathbf{v}||, \ ||\mathbf{k}||, preceduto dai segni \pm

    \cos(\widehat{rz})=\pm\frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{k}}{||\mathbf{v}||\ ||\mathbf{k}||}=\pm\frac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    Grazie alle precedenti relazioni, il sistema

    \begin{cases}\cos(\widehat{rx})=\cos(\widehat{ry})\\ \cos(\widehat{ry})=\cos(\widehat{rz})\end{cases}

    diventa

    \begin{cases}\pm\dfrac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\dfrac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\\ \\ \pm\dfrac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\dfrac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\end{cases}

    Semplifichiamo \sqrt{l^2+m^2+n^2} sia nella prima che nella seconda equazione, ricavando così il sistema equivalente

    \begin{cases}\pm l=\pm m\\ \pm m=\pm n\end{cases}

    da cui deduciamo che l,m,n devono essere uguali, a meno del segno. Possiamo pertanto scrivere le triple

    \\ (l,m,n)=(l,l,l)=l(1,1,1)\\ \\ (l,m,n)=(l,-l,l)=l(1,-1,1)\\ \\ (l,m,n)=(l,-l,-l)=l(1,-1,-1)\\ \\ (l,m,n)=(l,l,-l)=l(1,1,-1)

    Si noti che le altre combinazioni sono ridondanti, perché ciascuna individuerebbe la medesima direzione di una tripla già riportata.

    Poiché inoltre i vettori direttori di una retta differiscono di una costante moltiplicativa non nulla, siamo autorizzati a considerare i seguenti rappresentanti

    \\ \mathbf{v}_{1}=(1,1,1) \ \ , \ \ \mathbf{v}_{2}=(1,-1,1)\\ \\ \mathbf{v}_{3}=(1,-1,-1) \ \ ,\ \ \mathbf{v}_{4}=(1,1,-1)

    che, insieme alle coordinate di P, consentono di scrivere le equazioni parametriche delle rette che formano angoli congruenti con gli assi:

    \\ r_{1}: \ Q=P+\mathbf{v}_1 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ r_{2}: \ Q=P+\mathbf{v}_2 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=1+t\\ y=-t\\ z=t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ r_{3}: \ Q=P+\mathbf{v}_3 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=1+t\\ y=-t\\ z=-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\  r_{4}: \ Q=P+\mathbf{v}_4 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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