Soluzioni
  • Ciao Federico (ti stavo rispondendo sul Forum Laughing), se ti dicessi:

    "riscrivi la funzione in un riferimento di coordinate polari, che semplifica come i pazzi la funzione e anche l'espressione del vincolo"

    tu cosa mi diresti?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • non capisco come devo studiare poi una volta trasformato..perchè una volta scritto cosi:

     \frac{ (\rho cos\theta)^{\frac{1}{5}} (|\rho sin\theta|)^{\frac{1}{5}}}{\rho^{2}} + \rho^{2}log(1 + \frac{1}{\rho^{2}})

    poi che devo fare?

    Risposta di federico
  • A quel punto puoi raccogliere i termini in \rho a numeratore, osservando che \rho è positivo in coordinate polari e quindi non ci sono problemi con il modulo. La funzione diventa così

    f(\rho,\theta)=\rho^{-\frac{8}{5}}\cos{(\theta)}|\sin{(\theta)}|+\rho^2\log{\left(1+\frac{1}{\rho^2}\right)}

    Il dominio su cui è richiesto di cercare gli estremanti assoluti è

    \rho=1\mbox{ ; }\theta\in [0,2\pi)

    Il succo dell'esercizio è proprio quello di indurre a cercare strade alternative, perché con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange saltano fuori dei calcoli semplicemente assurdi. Ma, dato che il vincolo è semplicissimo, possiamo effettuare la restrizione ad esso semplicemente valutando la funzione in \rho=1

    f(1,\theta))\cos{(\theta)}|\sin{(\theta)}|+\log{(2)}

    in questo modo ricercare i massimi/minimi assoluti sulla circonferenza  per la funzione di due variabili equivale a cercare i massimi/minimi per la funzione di una variabile f(1,\theta) sull'intervallo [0,2\pi).

    Ecco dov'era l'inghippo...Frown

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi poi mi bastava fare la derivata prima di

     cos\theta |sin \theta| + log2

     vedere dove si annullava e quindi vedere la crescenza e decrescenza?

    il problema è che ho quel modulo che mi scoccia come devo fare?

    Risposta di federico
  • Non ci sono particolari problemi, basta usare la formula per il calcolo della derivata di una funzione in modulo

    \frac{d}{dx}(\cos{(\theta)}|\sin{(\theta)}|+\log{(2)})=-\sin{(\theta)}|\sin{(\theta)}|+\cos{(\theta)}\frac{|\sin{(\theta)}|}{\sin{\theta}}\cos{(\theta)}+0

    da cui, con semplici calcoli

    \frac{|\sin{(\theta)}|\cos{(2\theta)}}{\sin{(\theta)}}=sgn(\sin{(\theta)})\cos{(\theta)}

    dove sgn(\cdot) è la funzione segno:

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-elementari-e-le-loro-proprieta/288-segno.html

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • automaticamente però ottenendo questo i punti in cui si azzera sono quelli del coseno e quindi i punti

     

    Risposta di federico
  • ops non è stato postato bene il testo..volevo dire da quello che abbiamo trovato, i punti in cui si azzera sono quelli del coseno e quindi i punti di massimo sono quelli in cui il cos=1 e quelli di minimo sono quelli in cui il cos=-1?? scusa se insisto tanto ma vorrei capire bene questo esercizio perchè oggi mi ha fatto impazzire

    Risposta di federico
  • Per individuare massimi e minimi per la funzione, si tratta di risolvere la disequazione

    sgn(\sin{(\theta)})\cos{(2\theta)}\geq 0

    Studiamo separatamente il segno dei due fattori:

    sgn(\sin{(\theta)})\geq 0

    vale se e solo se

    \sin{(\theta)}\geq 0

    cioè se e solo se

    \theta\in [0,\pi]

    Per quanto riguarda

    \cos{(2\theta)}\geq 0

    ha soluzioni

    \theta\in \left[0,\frac{\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{3\pi}{4},\pi\right]\cup\left[\pi,\frac{5\pi}{4}\right]\cup\left[\frac{7\pi}{4},2\pi\right]

    quindi abbiamo due punti di massimo: x=\pi/ 4\mbox{; }x=\frac{7\pi}{4} e due punti di minimo x=3\pi/ 4\mbox{; }x=\frac{5\pi}{4}.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok perfetto grazie mille!!

    Risposta di federico
 
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