massimi e minimi assoluti..

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salve a tutti..oggi all'esame mi è stato proposto questo esercizio ma non sono riuscito a risolverlo potreste aiutarmi a capire come doveva essere fatto...

calcolare massimi e minimi assoluti della funzione :

(x^((1)/(5)) |y|^((1)/(5)))/(x^(2)+y^(2))+(x^(2)+y^(2))log(1+(1)/(x^(2)+y^(2))) 

sulla circonferenza x^(2)+y^(2) = 1

ho provato ad applicare lagrange solamente che le derivate venivano assurde era un casino risolvere il sistema..

 

Domanda di federico

 
Soluzioni

  • Ciao Federico (ti stavo rispondendo sul Forum Laughing), se ti dicessi:

    "riscrivi la funzione in un riferimento di coordinate polari, che semplifica come i pazzi la funzione e anche l'espressione del vincolo"

    tu cosa mi diresti?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non capisco come devo studiare poi una volta trasformato..perchè una volta scritto cosi:

    ((ρ cosθ)^((1)/(5)) (|ρ sinθ|)^((1)/(5)))/(ρ^(2))+ρ^(2)log(1+(1)/(ρ^(2)))

    poi che devo fare?

    Risposta di federico

  • A quel punto puoi raccogliere i termini in ρ a numeratore, osservando che ρ è positivo in coordinate polari e quindi non ci sono problemi con il modulo. La funzione diventa così

    f(ρ,θ) = ρ^(-(8)/(5))cos(θ)|sin(θ)|+ρ^2log((1+(1)/(ρ^2)))

    Il dominio su cui è richiesto di cercare gli estremanti assoluti è

    ρ = 1 ; θ∈ [0,2π)

    Il succo dell'esercizio è proprio quello di indurre a cercare strade alternative, perché con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange saltano fuori dei calcoli semplicemente assurdi. Ma, dato che il vincolo è semplicissimo, possiamo effettuare la restrizione ad esso semplicemente valutando la funzione in ρ = 1

    f(1,θ))cos(θ)|sin(θ)|+log(2)

    in questo modo ricercare i massimi/minimi assoluti sulla circonferenza  per la funzione di due variabili equivale a cercare i massimi/minimi per la funzione di una variabile f(1,θ) sull'intervallo [0,2π).

    Ecco dov'era l'inghippo...Frown

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • quindi poi mi bastava fare la derivata prima di

    cosθ |sin θ|+log2

     vedere dove si annullava e quindi vedere la crescenza e decrescenza?

    il problema è che ho quel modulo che mi scoccia come devo fare?

    Risposta di federico

  • Non ci sono particolari problemi, basta usare la formula per il calcolo della derivata di una funzione in modulo

    (d)/(dx)(cos(θ)|sin(θ)|+log(2)) = -sin(θ)|sin(θ)|+cos(θ)(|sin(θ)|)/(sin(θ))cos(θ)+0

    da cui, con semplici calcoli

    (|sin(θ)|cos(2θ))/(sin(θ)) = sgn(sin(θ))cos(θ)

    dove sgn(·) è la funzione segno:

    https://www.youmath.it/lezioni/analisi-matematica/le-funzioni-elementari-e-le-loro-proprieta/288-segno.html

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • automaticamente però ottenendo questo i punti in cui si azzera sono quelli del coseno e quindi i punti

     

    Risposta di federico

  • ops non è stato postato bene il testo..volevo dire da quello che abbiamo trovato, i punti in cui si azzera sono quelli del coseno e quindi i punti di massimo sono quelli in cui il cos=1 e quelli di minimo sono quelli in cui il cos=-1?? scusa se insisto tanto ma vorrei capire bene questo esercizio perchè oggi mi ha fatto impazzire

    Risposta di federico

  • Per individuare massimi e minimi per la funzione, si tratta di risolvere la disequazione

    sgn(sin(θ))cos(2θ) ≥ 0

    Studiamo separatamente il segno dei due fattori:

    sgn(sin(θ)) ≥ 0

    vale se e solo se

    sin(θ) ≥ 0

    cioè se e solo se

    θ∈ [0,π]

    Per quanto riguarda

    cos(2θ) ≥ 0

    ha soluzioni

    θ∈ [0,(π)/(4)] U [(3π)/(4),π] U [π,(5π)/(4)] U [(7π)/(4),2π]

    quindi abbiamo due punti di massimo: x = π/ 4; x = (7π)/(4) e due punti di minimo x = 3π/ 4; x = (5π)/(4).

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ok perfetto grazie mille!!

    Risposta di federico
 
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