Soluzioni
  • Ciao peppe30 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie mille

    Risposta di peppe30
  • \lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)

    Il trucco è risolvere separatamente i limiti

    Osserviamo che:

    \lim_{n\to\infty}\arctan(n!+3)= [\arctan(+\infty)]=\frac{\pi}{2}

    Concentriamoci ora sul limite:

    \lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}

    Possiamo vederlo come:

    \lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{((n+2)^{2})^{n}}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n}{((n+2)^2)^n}}\arctan(n!+3)=

    A questo punto utilizziamo le proprietà delle potenze:

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{((n+2)^2)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=

    Sviluppiamo il quadrato! :D

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=

    Spezziamo il limite del prodotto come prodotto di limiti:

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\lim_{n\to \infty}\arctan(n!+3)=

     

    Il secondo limite sappiamo già quanto vale, concentriamoci sul primo:

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}

    Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore i valori 4n e 2, lo facciamo per ricondurci al limite notevole dell'esponenziale

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+4n+4-4n-2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}

    \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}

    A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per \frac{4n+2}{n^2+4n+4} all'esponente:

    \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}

    Per le proprietà delle potenze:

    \lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}

     

    A questo punto osserva che:

    \lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]= e^{-1}

    Tieni a mente il limite generalizzato:

    \lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e^{-1}

    quando a_n\to \infty.

     

    L'esponente 

    \lim_{n\to \infty}\frac{(4n+2)n}{n^2+4n+4}= \lim_{n\to \infty}\frac{4n^2+2n}{n^2+4n+4}= 4

     

    Quindi:

    \lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}= e^{-4}

    In conlcusione:

     

    \lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)=

    e^{-4}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}

     

    E' un limite malvagio :|

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille :)

    Risposta di peppe30
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