limiti

potreste aiutarmi a risolvere questo limite??

limn->inf ((n^2)+2)^n)arctg(n!+3)/((n+2)^2n)+arctg(n!+3)

vi ringrazio in anticipo

In Uni - Analisi - Domanda di peppe30

Soluzioni

Ciao peppe30 arrivo :D

Risposta di Ifrit
ok grazie mille

Risposta di peppe30
$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)$

Il trucco è risolvere separatamente i limiti

Osserviamo che:

$\lim_{n\to\infty}\arctan(n!+3)= [\arctan(+\infty)]=\frac{\pi}{2}$

Concentriamoci ora sul limite:

$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}$

Possiamo vederlo come:

$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{((n+2)^{2})^{n}}=$

$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n}{((n+2)^2)^n}}\arctan(n!+3)=$

A questo punto utilizziamo le proprietà delle potenze:

$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{((n+2)^2)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=$

Sviluppiamo il quadrato! :D

$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=$

Spezziamo il limite del prodotto come prodotto di limiti:

$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\lim_{n\to \infty}\arctan(n!+3)=$

Il secondo limite sappiamo già quanto vale, concentriamoci sul primo:

$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$

Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore i valori 4n e 2, lo facciamo per ricondurci al limite notevole dell'esponenziale

$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+4n+4-4n-2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$

$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$

A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per $\frac{4n+2}{n^2+4n+4}$ all'esponente:

$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}$

Per le proprietà delle potenze:

$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}$

A questo punto osserva che:

$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]= e^{-1}$

Tieni a mente il limite generalizzato:

$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e^{-1}$

quando $a_n\to \infty$ .

L'esponente

$\lim_{n\to \infty}\frac{(4n+2)n}{n^2+4n+4}= \lim_{n\to \infty}\frac{4n^2+2n}{n^2+4n+4}= 4$

Quindi:

$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}= e^{-4}$

In conlcusione:

$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)=$

$e^{-4}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$

E' un limite malvagio :|

Risposta di Ifrit
grazie mille :)

Risposta di peppe30