limiti

potreste aiutarmi a risolvere questo limite??

limn->inf ((n^2)+2)^n)arctg(n!+3)/((n+2)^2n)+arctg(n!+3)

vi ringrazio in anticipo

Domanda di peppe30

Soluzioni

Ciao peppe30 arrivo :D
Risposta di Ifrit
ok grazie mille
Risposta di peppe30
$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)$
Il trucco è risolvere separatamente i limiti
Osserviamo che:
$\lim_{n\to\infty}\arctan(n!+3)= [\arctan(+\infty)]=\frac{\pi}{2}$
Concentriamoci ora sul limite:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}$
Possiamo vederlo come:
$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{((n+2)^{2})^{n}}=$
$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n}{((n+2)^2)^n}}\arctan(n!+3)=$
A questo punto utilizziamo le proprietà delle potenze:
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{((n+2)^2)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=$
Sviluppiamo il quadrato! :D
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\arctan(n!+3)=$
Spezziamo il limite del prodotto come prodotto di limiti:
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}\lim_{n\to \infty}\arctan(n!+3)=$

Il secondo limite sappiamo già quanto vale, concentriamoci sul primo:
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$
Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore i valori 4n e 2, lo facciamo per ricondurci al limite notevole dell'esponenziale
$\lim_{n\to \infty}\left(\frac{(n^2+4n+4-4n-2)}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$
$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{n}$
A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per $\frac{4n+2}{n^2+4n+4}$ all'esponente:
$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^{\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}$
Per le proprietà delle potenze:
$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}$

A questo punto osserva che:
$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]= e^{-1}$
Tieni a mente il limite generalizzato:
$\lim_{n\to \infty}\left(1-\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e^{-1}$
quando $a_n\to \infty$ .

L'esponente
$\lim_{n\to \infty}\frac{(4n+2)n}{n^2+4n+4}= \lim_{n\to \infty}\frac{4n^2+2n}{n^2+4n+4}= 4$

Quindi:
$\lim_{n\to \infty}\left[\left(1-\frac{4n+2}{(n^2+4n+4)}}\right)^\frac{1}{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}}\right]^{\frac{4n+2}{n^2+4n+4}n}= e^{-4}$
In conlcusione:

$\lim_{n\to \infty}\frac{(n^2+2)^n \arctan(n!+3)}{(n+2)^{2n}}+\arctan(n!+3)=$
$e^{-4}\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}$

E' un limite malvagio :|
Risposta di Ifrit
grazie mille :)
Risposta di peppe30