limiti

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potreste aiutarmi a risolvere questo limite?? 

limn->inf ((n^2)+2)^n)arctg(n!+3)/((n+2)^2n)+arctg(n!+3)

vi ringrazio in anticipo

Domanda di peppe30

 
Soluzioni

  • Ciao peppe30 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • ok grazie mille

    Risposta di peppe30

  • lim_(n → ∞)((n^2+2)^n arctan(n!+3))/((n+2)^(2n))+arctan(n!+3)

    Il trucco è risolvere separatamente i limiti

    Osserviamo che:

    lim_(n → ∞)arctan(n!+3) = [arctan(+∞)] = (π)/(2)

    Concentriamoci ora sul limite:

    lim_(n → ∞)((n^2+2)^n arctan(n!+3))/((n+2)^(2n))

    Possiamo vederlo come:

    lim_(n → ∞)((n^2+2)^n arctan(n!+3))/(((n+2)^(2))^(n)) =

    lim_(n → ∞)((n^2+2)^n)/(((n+2)^2)^n)arctan(n!+3) =

    A questo punto utilizziamo le proprietà delle potenze:

    lim_(n → ∞)((n^2+2)/(((n+2)^2)))^(n)arctan(n!+3) =

    Sviluppiamo il quadrato! :D

    lim_(n → ∞)((n^2+2)/(n^2+4n+4))^(n)arctan(n!+3) =

    Spezziamo il limite del prodotto come prodotto di limiti:

    lim_(n → ∞)((n^2+2)/(n^2+4n+4))^(n)lim_(n → ∞)arctan(n!+3) =

     

    Il secondo limite sappiamo già quanto vale, concentriamoci sul primo:

    lim_(n → ∞)((n^2+2)/(n^2+4n+4))^(n)

    Aggiungiamo e sottraiamo al numeratore i valori 4n e 2, lo facciamo per ricondurci al limite notevole dell'esponenziale

    lim_(n → ∞)((n^2+4n+4-4n-2)/(n^2+4n+4))^(n)

    lim_(n → ∞)(1-(4n+2)/(n^2+4n+4))^(n)

    A questo punto moltiplichiamo e dividiamo per (4n+2)/(n^2+4n+4) all'esponente:

    lim_(n → ∞)(1-(4n+2)/(n^2+4n+4))^((1)/((4n+2)/(n^2+4n+4))(4n+2)/(n^2+4n+4)n)

    Per le proprietà delle potenze:

    lim_(n → ∞)[(1-(4n+2)/(n^2+4n+4))^(1)/((4n+2)/(n^2+4n+4))]^((4n+2)/(n^2+4n+4)n)

     

    A questo punto osserva che:

    lim_(n → ∞)[(1-(4n+2)/(n^2+4n+4))^(1)/((4n+2)/(n^2+4n+4))] = e^(-1)

    Tieni a mente il limite generalizzato:

    lim_(n → ∞)(1-(1)/(a_n))^(a_n) = e^(-1)

    quando a_n → ∞.

     

    L'esponente 

    lim_(n → ∞)((4n+2)n)/(n^2+4n+4) = lim_(n → ∞)(4n^2+2n)/(n^2+4n+4) = 4

     

    Quindi:

    lim_(n → ∞)[(1-(4n+2)/(n^2+4n+4))^(1)/((4n+2)/(n^2+4n+4))]^((4n+2)/(n^2+4n+4)n) = e^(-4)

    In conlcusione:

     

    lim_(n → ∞)((n^2+2)^n arctan(n!+3))/((n+2)^(2n))+arctan(n!+3) =

    e^(-4)(π)/(2)+(π)/(2)

     

    E' un limite malvagio :|

    Risposta di Ifrit

  • grazie mille :)

    Risposta di peppe30
 
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