Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}\left(\frac{x^2+2x+3}{x^2-x+1}\right)^{x+3}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [1^{+\infty}] che possiamo sciogliere riconducendoci al limite notevole in forma generale

    \lim_{h(x)\to+\infty}\left(1+\frac{1}{h(x)}\right)^{h(x)}=e

    Per ricondurci a tale limite notevole dobbiamo fare in modo che la base della funzione esponenziale sia esprimibile come somma di 1 più una funzione infinitesima. Ci aiuta nel compito un piccolo trucco, applicabile ogni volta che ci troviamo in situazioni simili: sommiamo e sottraiamo 1 alla base

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{x^2+2x+3}{x^2-x+1}-1\right)^{x+3}=

    Sommiamo la frazione algebrica con il -1, mentre lasciamo in pace 1

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{x^2+2x+3-x^2+x-1}{x^2-x+1}\right)^{x+3}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{3x+2}{x^2-x+1}\right)^{x+3}=

    dopodiché esprimiamo la frazione algebrica come 1 sul suo reciproco, ossia

    =\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{3x+2}}\right)^{x+3}=(\bullet\bullet)

    così facendo abbiamo individuato la funzione h(x)

    h(x)=\frac{x^2-x+1}{3x+2}

    la quale è infinita quando x\to+\infty. Ancora non siamo autorizzati all'uso del limite notevole perché h(x) deve comparire tale e quale anche all'esponente: niente di difficile, moltiplichiamo e dividiamo per h(x) l'esponente

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{3x+2}}\right)^{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}\cdot\tfrac{(x+3)}{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}}}=

    In accordo con la proprietà delle potenze relativa alla potenza di una potenza, possiamo esprimere il limite nella forma equivalente

    =\lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{3x+2}}\right)^{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}}\right]^{\tfrac{x+3}{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}}}

    Concordemente con il limite notevole neperiano, il termine all'interno delle parentesi quadre tende ad e. Dobbiamo capire come si comporta l'esponente, ossia dobbiamo calcolare il seguente limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{x+3}{\frac{x^2-x+1}{3x+2}}=\lim_{x\to+\infty}\frac{(x+3)(3x+2)}{x^2-x+1}=

    Invochiamo il confronto degli infiniti e, ragionando per fattori, trascuriamo tutti i termini di grado inferiore:

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{x\cdot 3x}{x^2}=\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2}{x^2}=3

    In definitiva possiamo concludere che il limite vale e^{3}:

    \lim_{x\to+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{\frac{x^2-x+1}{3x+2}}\right)^{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}}\right]^{\tfrac{x+3}{\tfrac{x^2-x+1}{3x+2}}}=e^{3}

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
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