Soluzioni
  • Ciao Federico arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la funzione:

    f(x, y)= x^2-2y^2

    nella regione 

    D:=\{(x, y): (x-1)^2+4y^2\le 1\}

     

    Osserviamo che D è chiuso e limitato e in quanto tale è compatto inoltre la funzione è continua e per Weierstrass la funzione assume massimo e minimo assoluti.

    Suddivideremo lo studio dei massimi e minimi in due pari, uno interno alla regione, cioè nell'insieme:

    D°:= \{(x, y): (x-1)^2+4y^2\textless 1\}

    Utilizzeremo il metodo canonico:

    Calcoliamo le derivate parziali:

    f_x(x,y)= 2x

    f_y(x, y)=-4y

    E imponiamo che siano uguali a zero:

    \begin{cases}f_x(x, y)=0\\ f_y(x, y)=0\end{cases}\iff \begin{cases}2x=0\\ -4y=0\end{cases}

    Da cui otteniamo l'unica soluzione:

    P(0,0)

    A questo punto costruiamo l'Hessiana:

    H(x, y)= \begin{pmatrix}f_{x, x}(x, y)& f_{x, y}(x, y)\\ f_{y, x}(x, y)& f_{y, y}(x, y)\end{pmatrix}

     

    H(x, y)= \begin{pmatrix}2& 0\\ 0&-4\end{pmatrix}

    Da qui capiamo che il determinate della matrice Hessiana è negativo indipendentemente dai valori di x e y quindi il punto P(0,0) è di sella! :D

     

    Adesso lavoriamo sul bordo:

    \delta D:=\{(x, y): (x-1)^2+4y^2=1\}

     In realtà g(x, y)= (x-1)^2+4y^2-1=0 è un vincolo per la funzione possiamo quindi pensare di utilizzare Lagrange! :D

     

    L(x, y,\lambda)= f(x, y)-\lambda( (x-1)^2+4y^2-1)

    Calcoliamo le derivate parziali! 

    L_{x}(x, y, \lambda)= 2x-2(-1+x)\lambda

    L_{y}(x, y,\lambda)=-4y-8y\lambda

    L_{\lambda}(x, y,\lambda)=1-(x-1)^2-4y^2

     

    Impostando il sistema:

    \begin{cases}L_{x}=0\\L_{y}=0\\L_{\lambda}=0\end{cases}

    Otterrai le soluzioni (espresse in x, y, lambda)

    P_1=\left(\frac{1}{3}, -\sqrt{5}/6, -\frac{1}{2}\right)

    P_2= \left(\frac{1}{3}, \frac{\sqrt{5}}{6}, -\frac{1}{2}\right)

    P_3= (0,0,0)

    P_4= (2,0,2)

    A questo punto sostituisci nella funzione e vedi quale tra di loro realizzano il massimo o il minimo :P

    Risposta di Ifrit
  • un'altra cosa già che ci sono nel caso in cui controllando i punti interni ho hessiano nullo e magari con la diagonale composta da tutto zero come mi devo comportare?? cosa devo dire a riguardo del punto che sto studiando?

    Risposta di federico
  • Mi spiace, ma devi rispettare il regolamento, una richiesta per domanda :|

     

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi