Controesempio sul teorema di Weierstrass

Nel teorema di Weierstrass la chiusura dell'intervallo è fondamentale quanto la limitatezza dello stesso. Se ad esempio consideri la semplicissima funzione  sull'intervallo , tale funzione non ammette né massimo né minimo sull'intervallo, ma solo estremo superiore ed inferiore (rispettivamente 1 e 0).

Questo, per rendere l'idea, accade perché se l'intervallo è aperto la funzione può crescere e decrescere indefinitamente negli intorni degli estremi dell'intervallo.

Se invece la funzione è continua e definita su un intervallo chiuso ma non limitato, può tranquillamente essere illimitete: prendi ad esempio

definita sull'intervallo chiuso .

Namasté!