Integrale doppio con coordinate polari

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Mi serve una mano per calcolare l'integrale doppio di una funzione razionale fratta su un insieme definito come la parte di piano compresa tra due circonferenze non concentriche. So per certo che si debbano usare le coordinate polari, ma non riesco a determinare gli intervalli in cui variano le nuove variabili.

 

Calcolare l'integrale doppio

 

iint_(D)(y^2)/(x^2) , dxdy

 

dove D è l'insieme dei punti del piano così definito

 

D = (x,y)∈R^2 | 1 ≤ x^2+y^2 ≤ 2x

 

Grazie.

Domanda di Noel

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale doppio

    iint_(D)(y^2)/(x^2) , dxdy

    dove D è l'insieme

    D = (x,y)∈R^2 | 1 ≤ x^2+y^2 ≤ 2x

    esamineremo innanzitutto D dal punto di vista geometrico, dopodiché procederemo per sostituzione avvalendoci delle coordinate polari. Una volta effettuata la sostituzione, occorrerà svolgere gli integrali che ne conseguono.

    Esame del dominio di integrazione

    Il dominio di integrazione D è definito dalla doppia disequazione

    1 ≤ x^2+y^2 ≤ 2x

    che è equivalente al sistema di disequazioni

    x^2+y^2 ≥ 1 ; x^2+y^2 ≤ 2x

    La relazione

    x^2+y^2 ≥ 1

    individua la parte di piano esterna alla circonferenza di equazione

    mathrmC_1 : x^2+y^2 = 1

    di centro nell'origine e raggio 1. La disequazione

    x^2+y^2 ≤ 2x

    individua la parte di piano limitata dalla circonferenza di equazione

    mathrmC_2 : x^2+y^2-2x = 0

    di centro nel punto (1,0) e di raggio 1.

    In base alle precedenti considerazioni, comprendiamo che D è la parte di piano esterna a mathrmC_1 e interna a mathrmC_2.

     

    Coordinate polari per integrale doppio

     

    Sostituzione: coordinate polari

    Per calcolare l'integrale doppio utilizzeremo la trasformazione

    (x,y) = Φ(ρ,θ) = (ρcos(θ),ρsin(θ))

    dove ρ∈[0,+∞), mentre θ∈[-π, π) e la formula di integrazione]

    iint_(D)f(x,y)dxdy = iint_(Φ^(-1)(D))f(Φ(ρ,θ))·|J_(Φ)(ρ,θ)| ,dρ dθ

    dove:

    • Φ^(-1)(D) è la preimmagine di D mediante Φ;

    • f(Φ(ρ,θ)) è la funzione integranda f(x,y) valutata in (x,y) = (ρcos(θ),ρsin(θ));

    • |J_(Φ)(ρ,θ)| è il valore assoluto dello jacobiano associato alla trasformazione Φ.

    Esplicitiamo Φ^(-1)(D): per farlo è sufficiente partire dalla condizione che definisce D

    1 ≤ x^2+y^2 ≤ 2x

    e operare le sostituzioni x = ρcos(θ) e y = ρsin(θ)

    1 ≤ ρ^2cos^2(θ)+ρ^2sin^2(θ) ≤ 2ρcos(θ)

    Raccogliendo ρ^2 e usando la relazione fondamentale della goniometria, la doppia disuguaglianza diventa

    1 ≤ ρ^2 ≤ 2ρcos(θ)

    che equivalente al sistema

    ρ^2 ≥ 1 → ρ ≥ 1 ; ρ^2 ≤ 2ρcos(θ) → ρ ≤ 2cos(θ)

    Se mettiamo assieme le due relazioni, otteniamo quello che è a tutti gli effetti l'intervallo di variazione di ρ

    1 ≤ ρ ≤ 2cos(θ)

    Dove varia θ? Per rispondere a questa domanda bisogna porre la massima attenzione al fatto che la doppia disuguaglianza sussiste nel momento in cui è verificata la disequazione goniometrica elementare riferita all'intervallo [-π,π)

    1 ≤ 2cos(θ) → cos(θ) ≥ (1)/(2)

    ed è soddisfatta se e solo se θ∈[-(π)/(3),(π)/(3)].

    Riassumendo: ρ varia tra 1 e 2cos(θ), mentre θ appartiene all'intervallo [-(π)/(3),(π)/(3)], per cui

    Φ^(-1)(D) = (ρ,θ) | 1 ≤ ρ ≤ 2cos(θ), -(π)/(3) ≤ θ ≤ (π)/(3)

    Si noti che è un dominio normale rispetto alla variabile θ: questa informazione ci tornerà utile nel momento in cui useremo le formule di riduzione.

    Per esplicitare la funzione f(Φ(ρ,θ)), consideriamo la funzione integranda f(x,y) = (y^2)/(x^2) e sostituiamo ρsin(θ) al posto di y e ρcos(θ) al posto di x

    f(Φ(ρ,θ)) = f(ρcos(θ),ρsin(θ)) = (ρ^2sin^2(θ))/(ρ^2sin^2(θ)) = (sin^2(θ))/(cos^2(θ)) = tan^2(θ)

    Il valore assoluto dello Jacobiano associato alla trasformazione Φ è noto e vale ρ

    |J_(Φ)(ρ,θ)| = ρ

    In accordo con la formula di integrazione per sostituzione, ricaviamo che:

    iint_(D)(y^2)/(x^2) , dxdy = iint_(Φ^(-1)(D))tan^2(θ) ,ρ ,dρ dθ =

    Poiché Φ^(-1)(D) è normale rispetto a θ e per le formule di riduzione, l'integrale diventa

    = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))[∫_(1)^(2cos(θ))tan^2(θ)·ρ ,dρ]dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ)[∫_(1)^(2cos(θ))ρ , dρ]dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ)[(ρ^2)/(2)]_(ρ = 1)^(ρ = 2cos(θ))dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ)·(4cos^2(θ)-1)/(2) ,dθ

    Ci siamo ricondotti a un integrale trigonometrico nella sola variabile θ che possiamo risolvere portando fuori dal simbolo di integrale (1)/(2)

    = (1)/(2)∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ)(4cos^2(θ)-1)dθ =

    dopodiché semplifichiamo l'integranda moltiplicando tan^2(θ) per ciascun termine all'interno delle parentesi tonde

    = (1)/(2)∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))[tan^2(θ)·4cos^2(θ)-tan^2(θ)] , dθ = (1)/(2)∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))[4sin^2(θ)-tan^2(θ)] ,dθ =

    Sfruttiamo la linearità dell'integrale definito

    = (1)/(2)(4∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))sin^2(θ) ,dθ-∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ) ,dθ)

    e risolviamo singolarmente i due integrali, partendo da:

    ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))sin^2(θ) , dθ

    Dalla formula di duplicazione del coseno

    cos(2θ) = 1-2sin^2(θ)

    segue che

    sin^2(θ) = (1-2cos(2θ))/(2) ∀ θ∈R

    pertanto siamo autorizzati a scrivere l'uguaglianza

    ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))sin^2(θ) , dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))(1-2cos(2θ))/(2) ,dθ =

    Sfruttiamo ancora una volta la linearità dell'integrale

    = (1)/(2)(∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))1 ,dθ-2∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))cos(2θ) ,dθ) =

    e risolviamo gli integrali elementari ottenuti

    = (1)/(2)([θ]_(θ = -(π)/(3))^(θ = (π)/(3))-2[(1)/(2)sin(2θ)]_(θ = -(π)/(3))^(θ = (π)/(3))) = (1)/(2)((2π)/(3)-2·(√(3))/(2)) = (π)/(3)-(√(3))/(4)

    Risolviamo l'integrale

    ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ)dθ =

    riscrivendo la tangente nel rapporto tra seno e coseno

    = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))(sin^2(θ))/(cos^2(θ)) , dθ =

    dopodiché sfruttiamo la relazione fondamentale della goniometria per scrivere sin^2(θ) come 1-cos^2(θ)

    = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))(1-cos^2(θ))/(cos^2(θ)) ,dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))[(1)/(cos^2(θ))-(cos^2(θ))/(cos^2(θ))] , dθ = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))[(1)/(cos^2(θ))-1] , dθ =

    Spezziamo l'integrale della differenza nella differenza degli integrali

    = ∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))(1)/(cos^2(θ)) ,dθ-∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))1 , dθ =

    e osserviamo che sono entrambi integrali immediati.

    = [tan(θ)]_(θ = -(π)/(3))^(θ = (π)/(3))-[θ]_(θ = -(π)/(3))^(θ = (π)/(3)) = 2√(3)-(2π)/(3)

    Grazie ai valori ottenuti, possiamo finalmente esplicitare il valore dell'integrale

    (1)/(2)(4∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))sin^2(θ) ,dθ (= (π)/(3)-(√(3))/(4))-∫_(-(π)/(3))^((π)/(3))tan^2(θ) ,dθ (= 2√(3)-(2π)/(3))) = (1)/(2)[4((π)/(3)-(√(3))/(4))-(2√(3)-(2π)/(3))] = π-(3√(3))/(2)

    In conclusione

    iint_(D)(y^2)/(x^2) , dxdy = π-(3√(3))/(2)

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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