Soluzioni
  • Il limite di cui domandi è un classico esempio ideato con il proposito di trarre in inganno, e di focalizzare l'attenzione sul fatto che per applicare i limiti notevoli non basta che ci sia la funzione giusta. Come hai correttamente osservato, anche la x deve tendere al giusto valore.

    Mi spiego: qui non si può applicare il limite notevole del seno, perché x\to +\infty.

    Per risolvere il limite dobbiamo ragionare diversamente e ricordare qual è l'andamento della funzione seno.

    In particolare, il seno è una funzione limitata e assume valori compresi nell'intervallo [-1,1]

    -1\leq \sin(x)\leq 1

    Con questa osservazione il limite si risolve in un passaggio: scrivendo il risultato.

    Per x\to +\infty ci troviamo ad avere un rapporto tra una quantità di cui non conosciamo il valore preciso, ma che è sicuramente finita, e un infinito. L'algebra di infiniti e infinitesimi ci permette di concludere che il limite vale zero.

    \lim_{x\to +\infty}\frac{\sin{(x)}}{x}=0

    In alternativa possiamo applicare il teorema del confronto. Dobbiamo semplicemente osservare che per x\to +\infty, e dunque in particolare per x>0, vale

    -\frac{1}{x}\leq \frac{\sin(x)}{x}\leq \frac{1}{x}

    e che le funzioni minorante e maggiorante tendono a zero per x tendente a +infinito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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