Soluzioni
  • Ciao danieleee arrivo :)

    Risposta di Ifrit
  • Figurati è un piacere xD, andiamo a noi:

    Abbiamo la serie

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{-n}+4\log(n)}{n(n+5)}

    è a termini positivi inoltre 

    \lim_{n\to \infty}\frac{3^{-n}+4\log(n)}{n(n+5)}= 0

    infatti:

    \lim_{n\to \infty}\frac{3^{-n}+4\log(n)}{n(n+5)}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{3^{-n}}{n(n+5)}+\lim_{n\to \infty}\frac{4\log(n)}{n(n+5)})=

    0+0=0

    La condizione necessaria ma non sufficiente per la convergenza è verificata.

    Un modo di procedere consiste nello spezzare la serie in due più semplici e studiarle separatamente:

    La serie 

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{-n}+4\log(n)}{n(n+5)}

    infatti può essere rivista come:

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{-n}}{n(n+5)}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4\log(n)}{n(n+5)}

    Se entrambe le serie convergono allora lo farà anche la serie di partenza.

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{3^{-n}}{n(n+5)}

    Questa la risolviamo col criterio del rapporto.

    Posto

    a_n= \frac{3^{-n}}{n(n+5)} 

    si ha che:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}= \frac{n(n+5)}{3(1+n)(6+n)}

     

    Dunque 

    \lim_{n\to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}= \lim_{n\to \infty}\frac{n(5+n)}{3(1+n)(6+n)}=\frac{1}{3}

     

    Il limite è minore di 1 quindi la serie converge per il criterio del rapporto!

     

    Vediamo la seconda: Il criterio del rapporto è incocludente così come il criterio della radice. Utilizzerò il criterio di condensazione di Cauchy.

     

    Sia b_{n}= \frac{4\log(n)}{n(n+5)},

    essa è positiva  e definitivamente decrescente. Possiamo usare quindi il criterio di condensazione:

    La serie \sum b_n converge se e solo se converge:

    \sum_{n}2^n b_{2^n}

    La serie precedente si riscrive come:

    \sum_{n=1}^{\infty}2^n \frac{4\log(2^n)}{2^n(2^n+5)}=

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4n \log(2)}{2^n+5}

     

    A quest'ultima serie applichiamo il criterio del rapporto:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\frac{4(n+1)\log(2)}{2^{n+1}+5}}{\frac{4n \log(2)}{2^n+5}}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{(5+2^n) (1+n)}{(5+2^{1+n}n)}= \frac{1}{2}

    Il limite è minore di 1 quindi la serie 

    \sum_{n=1}^{\infty}2^n \frac{4\log(2^n)}{2^n(2^n+5)}

    converge e convergerà di conseguenza anche 

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4\log(n)}{n(n+5)}

    per il criterio di Cauchy!

     

    Abbiamo finito perché abbiamo espresso la serie originale come somma di due serie convergenti! :D

    Risposta di Ifrit
  • grazie milleee..ma la seconda serie oltre al teorema di condensazione si poteva applicare qualche altro teorema perchè la condensazione non l'ha spiegata il proff

    Risposta di danieleee
  • Potresti provare con questo.

    Consideriamo la successione b_n= \frac{4\log(n)}{n(n+5)} e la successione c_n= \frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

    Poiché

    \lim_{n\to \infty}\frac{b_n}{c_n}=0

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}

    converge allora convergerà anche la serie:

    \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4\log(n)}{n(n+5)}

     

    Questo non è altro che il criterio del confronto asintotico. La successione c_n si trova anvendo una certa dimestichezza con gli infinitesimi. :|

     

    Risposta di Ifrit
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