Soluzioni
  • Per passare dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta si devono trasportare tutti i termini dell'equazione in forma esplicita (y=mx+q) al primo membro, così da ottenere un'equazione in cui il membro di destra è zero (ax+by+c=0).

    Ricordiamo che:

    • l'equazione in forma esplicita di una retta è y = mx+q oppure x = k:

    - la prima forma (y=mx+q) è quella che si usa per le rette non parallele all'asse delle ordinate;

    - la seconda (x=k) descrive le rette parallele all'asse y;

    • l'equazione in forma implicita di una retta è ax+by+c = 0, con a,b non entrambi nulli.

    In questo contesto, e per risolvere gli esercizi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita dell'equazione di una retta, non è necessario sapere cosa rappresentano i coefficienti m,q,a,b,c (se vuoi approfondire puoi leggere le spiegazioni dei rispettivi link).

    Quello che dobbiamo fare è passare da un'equazione in forma esplicita con secondo membro non nullo a un'equazione con secondo membro uguale a zero, e per farlo è sufficiente trasportare tutti i termini al primo membro prestando attenzione ai segni.

    Esempi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita

    • y = -(1)/(2)x-(3)/(4)

    è l'equazione di una retta in forma esplicita. Per riscriverla in forma implicita trasportiamo tutti i termini al primo membro

    (1)/(2)x+y+(3)/(4) = 0

    Abbiamo già finito: quella ottenuta è infatti un'equazione della forma ax+by+c = 0.

    Solitamente però si eseguono ulteriori passaggi algebrici, col solo intento di migliorare l'estetica dell'equazione.

    Più precisamente facciamo in modo che i coefficienti fratti diventino interi calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

    (2x+4y+3)/(4) = 0

    Applichiamo il secondo principio di equivalenza delle equazioni e moltiplichiamo ambo i membri per 4. Ricaviamo così l'equazione equivalente

    2x+4y+3 = 0

    che è l'equazione in forma implicita della retta considerata.

    • y = (x)/(2)-1

    Anche in questo caso l'equazione della retta è in forma esplicita, dunque trasportiamo tutto al primo membro

    -(x)/(2)+y+1 = 0

    Anche in questo caso abbiamo già ricavato l'equazione in forma implicita: tutti i successivi passaggi algebrici servono esclusivamente a migliorarne l'aspetto.

    Calcoliamo il denominatore comune

    (-x+2y+2)/(2) = 0

    e otteniamo

    -x+2y+2 = 0

    • x = -3

    Qui abbiamo l'equazione in forma esplicita di una retta parallela all'asse delle y e c'è davvero ben poco da fare. Per scrivere l'equazione in forma implicita basta infatti trasportare -3 dal secondo al primo membro:

    x+3 = 0

    Quando conviene passare alla forma implicita

    A conti fatti la forma implicita non presenta grossi vantaggi rispetto a quella esplicita, se non in una determinata occasione.

    Diventa vantaggioso passare dalla forma esplicita a quella implicita nel momento in cui bisogna usare la formula della distanza di punto da una retta. Perché? Essenzialmente per una questione mnemonica: la formula è più semplice da ricordare.

    Nella maggior parte degli altri casi, invece, l'equazione della retta in forma esplicita è quella da preferire, perché fornisce due informazioni fondamentali: il coefficiente angolare m e l'ordinata all'origine q, che coincidono rispettivamente con il coefficiente di x e con il termine noto dell'equazione y = mx+q.

    ***

    Se vuoi vedere come si effettua il passaggio inverso, dalla forma implicita alla forma esplicita di una retta - click!

    Ti segnaliamo anche:

    - il formulario sulla retta;

    - la lezione di riepilogo sull'equazione della retta;

    - l'approfondimento su come disegnare una retta nel piano cartesiano;

    - il tool per risolvere la retta online.

    Risposta di Galois
 
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