Dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta

Per passare dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta si devono trasportare tutti i termini dell'equazione in forma esplicita (y=mx+q) al primo membro, così da ottenere un'equazione in cui il membro di destra è zero (ax+by+c=0).

Ricordiamo che:

• l'equazione in forma esplicita di una retta è oppure :

- la prima forma (y=mx+q) è quella che si usa per le rette non parallele all'asse delle ordinate;

- la seconda (x=k) descrive le rette parallele all'asse y;

• l'equazione in forma implicita di una retta è , con non entrambi nulli.

In questo contesto, e per risolvere gli esercizi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita dell'equazione di una retta, non è necessario sapere cosa rappresentano i coefficienti (se vuoi approfondire puoi leggere le spiegazioni dei rispettivi link).

Quello che dobbiamo fare è passare da un'equazione in forma esplicita con secondo membro non nullo a un'equazione con secondo membro uguale a zero, e per farlo è sufficiente trasportare tutti i termini al primo membro prestando attenzione ai segni.

Esempi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita

è l'equazione di una retta in forma esplicita. Per riscriverla in forma implicita trasportiamo tutti i termini al primo membro

Abbiamo già finito: quella ottenuta è infatti un'equazione della forma .

Solitamente però si eseguono ulteriori passaggi algebrici, col solo intento di migliorare l'estetica dell'equazione.

Più precisamente facciamo in modo che i coefficienti fratti diventino interi calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

Applichiamo il secondo principio di equivalenza delle equazioni e moltiplichiamo ambo i membri per 4. Ricaviamo così l'equazione equivalente

che è l'equazione in forma implicita della retta considerata.

Anche in questo caso l'equazione della retta è in forma esplicita, dunque trasportiamo tutto al primo membro

Anche in questo caso abbiamo già ricavato l'equazione in forma implicita: tutti i successivi passaggi algebrici servono esclusivamente a migliorarne l'aspetto.

Calcoliamo il denominatore comune

e otteniamo

Qui abbiamo l'equazione in forma esplicita di una retta parallela all'asse delle y e c'è davvero ben poco da fare. Per scrivere l'equazione in forma implicita basta infatti trasportare -3 dal secondo al primo membro:

Quando conviene passare alla forma implicita

A conti fatti la forma implicita non presenta grossi vantaggi rispetto a quella esplicita, se non in una determinata occasione.

Diventa vantaggioso passare dalla forma esplicita a quella implicita nel momento in cui bisogna usare la formula della distanza di punto da una retta. Perché? Essenzialmente per una questione mnemonica: la formula è più semplice da ricordare.

Nella maggior parte degli altri casi, invece, l'equazione della retta in forma esplicita è quella da preferire, perché fornisce due informazioni fondamentali: il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine , che coincidono rispettivamente con il coefficiente di e con il termine noto dell'equazione .

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Se vuoi vedere come si effettua il passaggio inverso, dalla forma implicita alla forma esplicita di una retta - click!

Ti segnaliamo anche:

- il formulario sulla retta;

- la lezione di riepilogo sull'equazione della retta;

- l'approfondimento su come disegnare una retta nel piano cartesiano;

- il tool per risolvere la retta online.