Dalla forma esplicita alla forma implicita di una retta

Come si può passare dalla forma esplicita di una retta alla forma implicita nel piano cartesiano, e quali sono i passaggi algebrici da seguire? Se possibile potreste mostrarmi degli esempi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita per l'equazione della retta?

In Superiori - Analisi - Domanda di Dam

Soluzioni

Per passare dalla forma esplicita alla forma implicita nell'equazione di una retta è sufficiente trasportare tutti i termini al primo membro.

Ricordiamo che l'equazione in forma esplicita (rispetto a ) di una retta è

dove è il coefficiente angolare, mentre è l'ordinata all'origine.

Per esprimere la retta in forma implicita, vale a dire nella forma

con numeri reali non contemporaneamente nulli, basta trasportare tutti i termini al primo membro prestando la massima attenzione ai segni, ricavando così:

Esempi sul passaggio dalla forma esplicita alla forma implicita

$\bullet \ \ \ y=-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$

è un'equazione espressa in forma esplicita, infatti al primo membro è presente solamente . Per riscriverla in forma implicita trasportiamo tutti i termini al primo membro

$\frac{1}{2}x+y+\frac{3}{4}=0$

In buona sostanza, abbiamo finito: questa è l'equazione della retta espressa in forma implicita. Solitamente si eseguono ulteriori operazioni algebriche con l'intento di migliorare l'estetica dell'equazione. Più precisamente facciamo in modo che i coefficienti fratti diventino numeri interi calcolando il minimo comune multiplo tra i denominatori

$\frac{2x+4y+3}{4}=0$

Una volta cancellato il denominatore, ricaviamo l'equazione equivalente

Facciamo un ulteriore esempio

$\bullet \ \ \ y=\frac{x}{2}-1$

Anche in questo caso, l'equazione della retta è in forma esplicita, dunque trasportiamo tutto al primo membro

$-\frac{x}{2}+y+1=0$

Ribadiamolo: già in questo modo l'equazione è in forma implicita, tutti i successivi passaggi algebrici servono esclusivamente a migliorare l'aspetto dell'equazione. Calcoliamo il denominatore comune

$\frac{-x+2y+2}{2}=0$

da cui

Equivalenza delle due forme

Le equazioni

$y=mx+q \ \ \ ; \ \ \ -mx+y-q=0$

sono equivalenti, nel senso che individuano il medesimo luogo geometrico sul piano cartesiano. Tale equivalenza discende dal fatto che usiamo i principi di equivalenza per passare da una forma all'altra, mantenendo inalterato il luogo geometrico che descrivono.

Equazione della retta in forma esplicita rispetto a x

Può succedere che l'equazione della retta sia espressa in forma esplicita rispetto a , ossia che si presenti nella forma

dove sono due numeri reali qualsiasi. Anche in questa circostanza basta seguire il medesimo ragionamento del caso precedente: per esprimerla in forma implicita trasportiamo tutto al primo membro.

Esempi sul passaggio dalla forma esplicita rispetto a x alla forma implicita

$\bullet \ \ \ x=1$

è un'equazione espressa in forma esplicita rispetto a e, dopo aver trasportato tutti i termini al primo membro, ricaviamo

$\bullet \ \ \ x=-\frac{3}{2}y+5$

è un'equazione in forma esplicita rispetto all'incognita . Trasportiamo i termini al primo membro, ricavando così l'equazione in forma implicita

$x+\frac{3}{2}y-5=0$

Determiniamo il denominatore comune

$\frac{2x+3y-10}{2}=0$

e cancelliamolo, ottenendo l'equazione equivalente

Quando conviene passare alla forma implicita

A conti fatti, la forma implicita non presenta grossi vantaggi rispetto a quella esplicita se non in una determinata occasione. Diventa vantaggioso passare dalla forma esplicita alla forma implicita nel momento in cui bisogna ricorrere alla formula della distanza di punto da una retta. Perché? Essenzialmente per una mera questione mnemonica: la formula è più semplice da ricordare.

Nella maggior parte degli altri casi, invece, l'equazione della retta in forma esplicita rispetto all'incognita è quella da preferire. Essa ha il pregio di fornire due informazioni fondamentali: il coefficiente angolare e l'ordinata all'origine, che coincidono rispettivamente con il coefficiente di e con il termine noto, utilissimi per risolvere moltissimi esercizi sulle rette.

Risposta di Ifrit