Integrale improprio con parametro, dire se converge
Ciao a tutti, vi chiedo aiuto per stabilire se un integrale improprio dipendente da un parametro converge o meno: dire per quali valori del parametro reale a esistono primitive della funzione
(x^2+a^2)^(1/2) *ln(2-x)
con x appartenente a ]-1;0]
Ho problemi anche con un altro integrale improprio
(x*sinx^2)/(1-cosx^2)^(1/2) + (a*sinx)/x
ragazzi qualcuno sa spiegarmi come procedere almeno in uno dei due integrali?
Risposta di gianluca.1992
Ciao Gianluca!
Per prima cosa, ricordiamo che calcolare la primitiva di una funzione significa, in poche parole, integrarla! Quindi al fine di stabilire se una funzione ammetta o meno primitiva, possiamo procedere in due modi:
1. Calcolare esplicitamente l'integrale;
2. Studiare la convergenza dell'integrale nei punti di discontinuità (questo accade se l'integrale è improprio).
Ora, sta a te (o meglio alla richiesta dell'esercizio 
) scegliere quale sia la strada migliore.
Noi abbiamo studiato la convergenza del primo e calcolato esplicitamente il secondo.
Il primo integrale è:
Ed è definito nell'intervallo (-1,0]. Il dominio dell'integranda è (-∞,2), quindi l'intervallo su cui vuoi studiare l'integrale è completamente contenuto nel dominio: vuol dire che non abbiamo problemi...
Questo significa la funzione ammette primitiva per ogni valore di a in R.
In questo caso non si può calcolare esplicitamente la primitiva! Si potrebbe provare a svolgerlo per parti, magari integrando prima indipendentemente la funzione
operando la sostituzione x=a tg(t), ma sarebbe tutto inutile!!! 
).
Ancora, se vuoi provare a ricondurti a degli integrali impropri notevoli puoi usare questo:
[Qui trovi una spiegazione dettagliata e la tabella completa: integrali impropri fondamentali].
Infatti, puoi notare che nel tuo integrale la x compare nel logaritmo con il meno davanti: quindi puoi considerare al come se al posto di x , tu studiassi (-x). A questo punto, dallo schema sopra si vede che b deve appartenere a (0,1), e la nostra x ha valori in (-1,0] e quindi, (-x) ha valori proprio in [0,1). L'unica cosa che cambia è che da una parte hai la quadra e dall'altra no, ma applicando la definizione di integrale improprio, puoi vedere questa cosa come il
In conclusione, la primitiva esiste per ogni a in R.
In questo secondo caso, abbiamo calcolato esplicitamente la primitiva di
Usiamo in primo luogo la linearità dell'integrale per riscriverlo nella forma:
E calcoliamo la primitiva dei due addendi separatamente (sempre che sia possibile 
):
Si vede facilmente che la primitiva del primo addendo è :
più eventuali costanti arbitrarie (il numeratore è quasi la derivata del radicando del denominatore...).
Per quanto riguarda il secondo addendo, non è possibile calcolarne esplicitamente la primitiva. Infatti, si tratta di una funzione integrale nota: il Seno Integrale e si indica con Si(x). Essendo nota, è nota anche la sua convergenza.
Per scrupolo, ti mettiamo qui sotto lo schema relativo:
Pertanto, anche questo integrale ammette primitiva per ogni a in R.
Speriamo di aver risposto in modo esauriente alla tua domanda!
Alpha e Epsilon
Risposta di Alpha
Ci siamo dimenticati di precisare una cosa riguardo al II integrale.
Siccome non è detto che con R+ si intenda incluso lo 0 (questioni di definizione e notazione del tutto arbitrarie), nel caso non fosse incluso, formalmente si dovrebbe scrivere:
Questo, poi, porta alla stessa conclusione scritta sopra!!
:)
Risposta di Eka