Soluzioni
  • ragazzi qualcuno sa spiegarmi come procedere almeno in uno dei due integrali?

    Risposta di gianluca.1992
  • Ciao Gianluca!

    Per prima cosa, ricordiamo che calcolare la primitiva di una funzione significa, in poche parole, integrarla! Quindi al fine di stabilire se una funzione ammetta o meno primitiva, possiamo procedere in due modi:

    1. Calcolare esplicitamente l'integrale;

    2. Studiare la convergenza dell'integrale nei punti di discontinuità (questo accade se l'integrale è improprio).

    Ora, sta a te (o meglio alla richiesta dell'esercizio Fico) scegliere quale sia la strada migliore.

    Noi abbiamo studiato la convergenza del primo e calcolato esplicitamente il secondo.

     

    Il primo integrale è:

    Ed è definito nell'intervallo (-1,0]. Il dominio dell'integranda è (-∞,2), quindi l'intervallo su cui vuoi studiare l'integrale è completamente contenuto nel dominio: vuol dire che non abbiamo problemi...

    Questo significa la funzione ammette primitiva per ogni valore di a in R.

    In questo caso non si può calcolare esplicitamente la primitiva! Si potrebbe provare a svolgerlo per parti, magari integrando prima indipendentemente la funzione

     

    operando la sostituzione x=a tg(t), ma sarebbe tutto inutile!!! Risatona ).

    Ancora, se vuoi provare a ricondurti a degli integrali impropri notevoli puoi usare questo:

    [Qui trovi una spiegazione dettagliata e la tabella completa: integrali impropri fondamentali].

    Infatti, puoi notare che nel tuo integrale la x compare nel logaritmo con il meno davanti: quindi puoi considerare al come se al posto di x , tu studiassi (-x). A questo punto, dallo schema sopra si vede che b deve appartenere a (0,1), e la nostra x ha valori in (-1,0] e quindi, (-x) ha valori proprio in [0,1). L'unica cosa che cambia è che da una parte hai la quadra e dall'altra no, ma applicando la definizione di integrale improprio, puoi vedere questa cosa come il

    In conclusione, la primitiva esiste per ogni a in R.

     

    In questo secondo caso, abbiamo calcolato esplicitamente la primitiva di

    Usiamo in primo luogo la linearità dell'integrale per riscriverlo nella forma:

    E calcoliamo la primitiva dei due addendi separatamente (sempre che sia possibile Occhiolino):

    Si vede facilmente che la primitiva del primo addendo è :

    più eventuali costanti arbitrarie (il numeratore è quasi la derivata del radicando del denominatore...).

    Per quanto riguarda il secondo addendo, non è possibile calcolarne esplicitamente la primitiva. Infatti, si tratta di una funzione integrale nota: il Seno Integrale e si indica con Si(x). Essendo nota, è nota anche la sua convergenza.

    Per scrupolo, ti mettiamo qui sotto lo schema relativo:

     

    Pertanto, anche questo integrale ammette primitiva per ogni a in R.

    Speriamo di aver risposto in modo esauriente alla tua domanda!

     

    Alpha e Epsilon

    Risposta di Alpha
  • Ci siamo dimenticati di precisare una cosa riguardo al II integrale.

    Siccome non è detto che con R+ si intenda incluso lo 0 (questioni di definizione e notazione del tutto arbitrarie), nel caso non fosse incluso, formalmente si dovrebbe scrivere:

    Questo, poi, porta alla stessa conclusione scritta sopra!!

    :)

    Risposta di Eka
 
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