Soluzioni
  • Ciao latorre7 arrivo :P

    Risposta di Ifrit
  • In pratica dobbiamo risolvere la catena di disequazioni:

     

    -1\le \log(1+x^2)\le 0

    che equivale al sistema:

    \begin{cases}\log(1+x^2)\ge -1\\ \log(1+x^2)\le 0\end{cases}

    Risolviamo la prima disequazione:

    \log(1+x^2)\ge -1

    1+x^2\ge e^{-1}

    x^2\ge e{-1}-1

    Questa disuguaglianza è soddisfatta per ogni x\in \mathbb{R}, perché al secondo membro abbiamo un numero negativo, metre il primo membro è sempre un numero nonnegativo al variare di x

    Andiamo con la seconda disequazione:

    \log(1+x^2)\le 0

    implica che:

    1+x^2\le 1

    da cui

    x^2\le 0

    Questa disequazione è soddisfatta solo da x=0

    Intersecando le soluzioni della prima e della seconda disequazione otteniamo l'insieme che volevamo, in questo caso è costuituito dal solo elemento 0

    La controimmagine dell'insieme [-1, 0] tramite la funzione f(x)=\log(1+x^2) è 

    f^{-1}([-1, 0])= \{0\}

    Risposta di Ifrit
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