Retta tangente a una curva parametrica e integrale

Salve a tutti non riesco a capire come calcolare la retta tangente ad una curva parametrica in un punto e come calcolare l'integrale di una funzione lungo tale curva parametrica...in particolare l'ultima parte..ve lo posto tutto cosi capite meglio.

 

Data la curva \gamma di equazione r(t) = ( t, t^{2} -9 ,t) con t\in(-3,3) determinare se il punto P_{0}= (3,0,3)  e/o il punto P_{1} =(0,-9,9) sono in \gamma ed in caso affermativo, trovare l’equazione della retta tangente a \gamma nel punto.

 

Calcolare poi l'integrale di linea

 

\int_{\gamma}{ \frac{ z^{2} + y}{\sqrt{x^{2}+z^{2}+1}}ds}

 

grazie mille trovo difficoltà a scrivere questo integrale, non ho idea di come si faccia...

In Uni - Analisi - Domanda di federico

Soluzioni

  • Ciao Federio, arrivo a risponderti, un attimo di pazienza...

    Risposta di Omega

  • scusate ho sbagliato a scrivere un punto.. il punto corretto è:

    P_{1} = (0,-9,0)

    scusate

    Risposta di federico

  • Eccoci: per vedere se i due punti P_0=(3,0,3) e P_1=(0,-9,0) appartengono alla curva parametrica di equazione

    r(t)=(t,t^2-9,t)

    con t\in (-3,3) basta osservare che, rispettivamente, i valori del parametro t=3 e t=0 permettono di ottenere i due punti P_0,P_1.

    Di questi due punti, però, sono P_1=(0,-9,0) appartiene alla curva, perché il parametro va preso nell'intervallo t\in (-3,3).

    Per calcolare la retta tangente alla curva nel punto P_1, ne determiniamo la direzione calcolando il vettore "velocità"

    r'(t)=(1,2t,1)

    e lo valutiamo con t=0, trovando che la direzione della tangente nel punto è data da

    r'(0)=(1,0,1)

    Da qui, conoscendo direzione e un punto di passaggio per la retta, tangente, è semplice scriverne le equazioni parametriche:

    x=t

    y=-9

    z=t

    A questo punto, per calcolare l'integrale di linea di prima specie, che è della forma

    \int_{r}{f(x,y,z)ds}

    facciamo riferimento alla formula

    \int_{r}{f(x,y,z)ds}=\int_{r}{f(r(t))||r'(t)||dt}

    dove ||r'(t)||=\sqrt{1+4t^2+1} è il modulo del vettore velocità. In questo modo, valutando la funzione culle coordinate della curva e riscrivendo l'integrale, troviamo

    \int_{r}{\frac{2t^2-9}{\sqrt{2t^2+1}}\sqrt{2}\sqrt{2t^2+1}dt}=\int_{-3}^{3}{\sqrt{2}(2t^2-9)dt}

    da qui in poi non dovresti avere problemi con il calcolo dell'integrale, che è un semplice integrale di una funzione reale di variabile reale.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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