Soluzioni
  • Consideriamo le equazioni parametriche di una retta

    r: \ \begin{cases}x=x_{P}+lt\\ y=y_{P}+mt\\ z=z_{P}+nt\end{cases} \ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    dove x_{P},y_{P},z_{P} sono le coordinate di un punto qualsiasi della rette mentre l,m,n sono i parametri direttori di r e costituiscono un vettore direttore di r

    \mathbf{v}_{r}=(l,m,n)

    Affinché questa retta formi angoli congruenti con gli assi coordinati, bisogna richiedere che i coseni direttori

    \cos(\widehat{rx}) \ \ \ , \ \ \ \cos(\widehat{ry})\ \ \ ,\ \ \ \cos(\widehat{rz})

    siano uguali tra loro.

    Se infatti gli angoli che la retta forma con gli assi coordinati sono congruenti, ossia se

    \widehat{rx}=\widehat{ry}=\wide{rz}

    necessariamente i coseni dei tre angoli devono essere uguali

    \cos(\widehat{rx})=\cos(\widehat{ry})=\cos(\widehat{rz})

    Per definizione, i coseni degli angoli che la retta r forma con l'asse delle ascisse si ottengono mediante la relazione:

    \cos(\widehat{rx})=\pm\frac{\mathbf{v}_{r}\cdot\mathbf{i}}{||\mathbf{v}_{r}||\ ||\mathbf{i}||}=

    dove \mathbf{v}_{r}\cdot\mathbf{i} è il prodotto scalare euclideo tra \mathbf{v}_{r} e il versore \mathbf{i}=(1,0,0), mentre ||\mathbf{v}_{r}|| è la norma di \mathbf{v}_{r}, definita come la radice quadrata della somma tra i quadrati delle sue componenti, e ||\mathbf{i}|| è la norma di \mathbf{i} e vale 1.

    =\pm\frac{(l,m,n)\cdot (1,0,0)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\sqrt{1^2+0^2+0^2}}=\pm\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    Con lo stesso ragionamento si definiscono i coseni degli angoli che r forma con l'asse delle ordinate, e i coseni di quelli che r forma con l'asse delle quote.

    \\ \cos(\widehat{ry})=\pm\frac{\mathbf{v}_{r}\cdot\mathbf{j}}{||\mathbf{v}_{r}||\ ||\mathbf{j}||}= \\ \\ \\ =\pm\frac{(l,m,n)\cdot (0,1,0)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\ \sqrt{0^2+1^2+0^2}}= \pm\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\\ \\\ \\ \cos(\widehat{rz})=\pm\frac{\mathbf{v}_{r}\cdot\mathbf{k}}{||\mathbf{v}_{r}||\ ||\mathbf{k}||}= \\ \\ \\ =\pm\frac{(l,m,n)\cdot (0,0,1)}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}\ \sqrt{0^2+0^2+1^2}}= \pm\frac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    A questo punto esplicitiamo la doppia uguaglianza

    \cos(\widehat{rx})=\cos(\widehat{ry})=\cos(\widehat{rz})

    in termini di l,m,n

    \pm\frac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\frac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\frac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}

    e traduciamola nel sistema avente per incognite proprio i parametri direttori di r

    \begin{cases}\pm\dfrac{l}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\dfrac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\\ \\ \pm\dfrac{m}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}=\pm\dfrac{n}{\sqrt{l^2+m^2+n^2}}\end{cases}

    Semplificando \sqrt{l^2+m^2+n^2} sia dalla prima che dalla seconda equazione, ricaviamo:

    \begin{cases}\pm l=\pm m\\ \pm m=\pm n\end{cases}

    da cui segue che l,m,n devono essere uguali tra loro a meno del segno! Andranno bene le triple:

    \\ (l,m,n)=(l,l,l)=l(1,1,1) \\ \\ (l,m,n)=(l,-l,-l)=l(1,-1,-1)\\ \\ (l,m,n)=(l,-l,l)=l(1,-1,1) \\ \\ (l,m,n)=(l,l,-l)=l(1,1,-1)

    a patto che l\ne 0: tutte le altre sono superflue perché individuano la stessa direzione di una di queste.

    Inoltre, proprio perché i vettori direttori differiscono di un coefficiente moltiplicativo, possiamo considerare i seguenti rappresentanti

    \\ \mathbf{v}_{1}=(1,1,1) \ \ , \ \ \mathbf{v}_{2}=(1,-1,-1) \\ \\  \mathbf{v}_{3}=(1,-1,1) \ \ , \ \  \mathbf{v}_{4}=(1,1,-1) 

    Perfetto, disponiamo di tutto ciò che ci serve: il punto di passaggio è

    P(x_{P},y_{P},z_{P})=(5,6,7)

    e con i quattro vettori direttori \mathbf{v}_{1},\ \mathbf{v}_{2},\ \mathbf{v}_{3},\ \mathbf{v}_{4} ricaviamo le seguenti rappresentazioni parametriche delle rette

    \\ r_{1}: \ Q=P+\mathbf{v}_1 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=5+t\\ y=6+t\\ z=7+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ r_{2}: \ Q=P+\mathbf{v}_2 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=5+t\\ y=6-t\\ z=7-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\ r_{3}: \ Q=P+\mathbf{v}_3 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=5+t\\ y=6-t\\ z=7+t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}\\ \\ \\  r_{4}: \ Q=P+\mathbf{v}_4 t \ \ \ \to \ \ \ \begin{cases}x=5+t\\ y=6+t\\ z=7-t\end{cases}\ \ \ \mbox{con} \ t\in\mathbb{R}

    Ecco fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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