Soluzioni
  • Ciao Lely91 Arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Scusami per il ritardo Lely91, abbiamo molte domande oggi xD

    Il limite è:

    \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=5}^{n}\left(\frac{5}{3}\right)^k

    oppure

    \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=5}^{n}\frac{5}{3^k}

    Risposta di Ifrit
  • niente. è il secondo. volevo sapere se è lecito farlo con l'integrale come ho scritto sopra e come devo procedere in quel caso.

    Risposta di Lely91
  • No, non ti consiglio il metodo integrale

    Io procederei come segue:

    \sum_{k=5}^n \frac{5}{3^k}= 5\sum_{k=5}^{n}\frac{1}{3^k}

    Ma:

    \sum_{k=5}^{n}\frac{1}{3^k}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3^n-81}{81 \cdot 3^{n}}

    è una somma geometrica di cui conosciamo praticamente tutto :)

    Puoi utilizzare infatti la seguente formula:

    \sum_{k=m}^{n}x^{k}=\frac{x^{n+1}-x^m}{x-1}

    Nel nostro caso x=\frac{1}{3}

     

    A questo punto il limite si riduce a 

    \lim_{n\to \infty}\frac{5}{n}\cdot\frac{3^n-81}{81 \cdot 3^{n}}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{5}{n}\lim_{n\to \infty }\frac{3^n-81}{81\cdot 3^n}=0

     

    Questo perché il primo limite è zero mentre il secondo:

    \lim_{n\to \infty }\frac{3^n-81}{81\cdot 3^n}=

    \lim_{n\to \infty}\frac{3^{n}\left(1-\frac{81}{3^n}\right)}{3^n\cdot 81}

    Semplifica 3^n

    \lim_{n\to \infty}\frac{\left(1-\frac{81}{3^n}\right)}{ 81}=\frac{1}{81}

     

    Chiaro? ;)

     

    Note: Il criterio integrale è scosigliabile in questo caso, anche se procedendo in quel modo avremmo ottenuto lo stesso risultato. 

    Se hai bisogno di chiarimenti sono qui :)

    Risposta di Ifrit
  • ok questo metodo mi è chiaro. Però volevo sapere del metodo integrale perchè il nostro professore esercizi di quel tipo li ha sempre fatti usando il criterio integrale.

     

    Risposta di Lely91
  • Ok,

    La successione:

    Per n molto grande la successione \frac{1}{n}\sum_{k=5}^{\infty}\frac{1}{3^k}

    ha lo stesso comportamento di 

    \frac{1}{n}\int_5^{n}\frac{5}{3^x}dx

    Ricordando che:

    \int a^xdx= \frac{a^x}{\ln(a)}+c

    si ha che

    \int_{5}^{n}\frac{5}{3^x}dx=\frac{5 (3^n-243)}{3^{5} 3^n\ln(3)}

    Consideriamo ora il limite:

    \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\int_5^{n}\frac{5}{3^x}dx= \lim_{n\to \infty}\frac{1}{n}\frac{5(3^n-243)}{3^5 3^n\ln(3)}=0

    questo perché

    \lim_{n\to \infty}\frac{5(3^n-243)}{3^5 3^n\ln(3)}= \frac{5}{243\ln(3)}

     

    Risposta di Ifrit
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