Limite di una successione con serie parziale
Avrei bisogno del vostro aiuto per calcolare il limite di una successione definita mediante sommatoria. So per certo che devo rifarmi alla teoria delle progressioni geometriche, che però non ricordo più.
Calcolare il seguente limite di successione:
Grazie.
Dobbiamo calcolare il limite della successione definita da
La strategia risolutiva prevede di applicare le proprietà delle sommatorie per ricondursi alla somma di una progressione geometrica.
Per prima cosa osserviamo che 5 non dipende dall'indice di sommatoria, per cui può essere trasportato fuori dal simbolo
Le proprietà delle potenze, inoltre, consentono di riscrivere
come 
Apriamo una parentesi teorica sulla somma delle progressioni geometriche. In generale, la somma della progressione geometrica
per
da 
a 
è data da:
Osserviamo che questa uguaglianza rappresenta il punto di partenza per lo studio della convergenza delle serie geometriche e per il calcolo della loro somma.
Se sostituiamo
, otteniamo![Σ_(k = 5)^(n)((1)/(3))^(k) = (((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1))/(1-(1)/(3)) = (((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1))/((2)/(3)) = [((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1)]·(3)/(2)](/images/joomlatex/a/2/a203042a792171eb0fd185711f395bcf.gif)
Alla luce di ciò, il limite
diventa
![= lim_(n → +∞)(5)/(n)[((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1)]·(3)/(2)](/images/joomlatex/1/3/13ec83a96ee4e786f52ad5ff959dee0c.gif)
Notiamo che il fattore
tende a 0 per 
, mentre il fattore![[((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1)]·(3)/(2)](/images/joomlatex/1/e/1e0f3f4271423344e148b90079b11013.gif)
tende a
, pertanto possiamo concludere che il limite è 0.![lim_(n → +∞)(5)/(n)[((1)/(3))^(5)-((1)/(3))^(n+1)]·(3)/(2) = 0·(1)/(162) = 0](/images/joomlatex/8/d/8d5460c2493b17da19364bef4ca9403f.gif)
Fatto!
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