Soluzioni
  • Ciao frascatano arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • \int\frac{x^2+x}{4-3x-x^2}dx

    Notiamo che un integrale della forma

    \int \frac{N(x)}{D(x)}dx

    Dove:

    • N è un polinomio numeratore ed è dello stesso grado del polinomio denominatore, in tal caso è  necessario effettuare una divisione polinomiale. Oppure utilizziamo dei trucchi algebrici:

    \int\frac{x^2+x}{4-3x-x^2}dx= \int \frac{x^2+x+2x-2x+4-4}{4-3x-x^2}dx

    \int \frac{x^2+3x-4}{-x^2-3x+4}dx+\int \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}dx

    A questo punto il primo integrale è immediato:

    \int \frac{x^2+3x-4}{-x^2-3x+4}dx= \int -1dx= -x+c

    Mentre il secondo è un po' meno immediato e richiede il metodo dei fratti semplici:

    \int \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}dx

    Osserviamo il denominatore:

    -x^2-3x+4

    esso si scompone come:

    (1-x)(x+4)

    Il nostro scopo è quello di esprimere la funzione integranda in fratti più semplici, nel nostro caso andiamo alla ricerca di due costanti reali A e B tali che: 

    \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}= \frac{A}{1-x}+\frac{B}{x+4}

    Minimo comune multiplo al secondo membro

    \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}= \frac{A(x+4)+B(1-x)}{(1-x)(x+4)}

    Il denominatore non serve più. Concentriamoci ora sulla relazione

    -2x+4= Ax+4A+B-Bx

    -2x+4= (A-B )x+4A+B

    I due polinomi sono identici se e solo se i coefficienti dei membri coincidono. Grazie a questa affermazione possiamo costruire il sistema:

    \begin{cases}A-B=-2\\ 4A+B= 4\end{cases}

    Risolvendo il sistema abbiamo che:

    A=\frac{2}{5}, B=\frac{12}{5}

    Quindi:

    \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}=\frac{2}{5(1-x)}+\frac{12}{5(x+4)}

    L'integrale:

    \int \frac{-2x+4}{-x^2-3x+4}dx= \int \frac{2}{5(1-x)}dx+\int\frac{12}{5(x+4)}dx=

    \frac{2}{5}\ln|1-x|+\frac{12}{5}\ln|x+4|+c

    Possiamo concludere quindi che:

    \int\frac{x^2+x}{4-3x-x^2}dx= -x+\frac{2}{5}\ln|1-x|+\frac{12}{5}\ln|x+4|+c

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica