Limite con arcotangente, esponenziale e coseno

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Devo calcolare il limite di una funzione fratta che genera una forma indeterminata del tipo 0 su 0. Il mio problema è che nell'espressione analitica compaiono molte funzioni che non sono in grado di gestire correttamente

 

lim_(x → 0)(arctan(x)-xe^(x))/(xcos(x)-xe^(x))

 

Credo che si debba utilizzare il teorema di Taylor per il calcolo. Aiutatemi per favore.

Domanda di giuliaice

 
Soluzioni

  • Il limite

    lim_(x → 0)(arctan(x)-x e^(x))/(xcos(x)-x e^(x)) = (•)

    genera una forma indeterminata del tipo [(0)/(0)] che può essere risolta sfruttando come si deve gli sviluppi notevoli di Taylor. In particolare utilizziamo:

    - lo sviluppo notevole dell'arcotangente arrestato al terzo ordine

    arctan(x) = x-(x^3)/(3)+o(x^3)

    dove con o(x^3·) indichiamo l'o-piccolo di x^3.

    - lo sviluppo notevole della funzione esponenziale arrestato al secondo ordine

    e^(x) = 1+x+(x^2)/(2)+o(x^2)

    così che, moltiplicando ambo i membri per x giungiamo al terzo ordine

    xe^(x) = x+x^2+(x^3)/(2)+o(x^3)

    - lo sviluppo notevole della funzione coseno al secondo ordine

    cos(x) = 1-(x^2)/(2)+o(x^2)

    così che moltiplicando membro a membro per x giungiamo all'espressione

    xcos(x) = x-(x^3)/(2)+o(x^3)

    Rimpiazziamo i termini con i loro sviluppi e il limite si riscrive come

    (•) = lim_(x → 0)(-x^2-(5)/(6)x^3+o(x^3))/(-x^2-x^3+o(x^3)) =

    Attenzione! La forma di indecisione non è ancora svanita, ma manca poco per concludere l'esercizio: è sufficiente considerare gli infinitesimi di ordine inferiore sia al numeratore che al denominatore

    = lim_(x → 0)(-x^2)/(-x^2) = 1

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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