Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to0}\frac{\arctan(x)-x e^{x}}{x\cos(x)-x e^{x}}=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo \left[\frac{0}{0}\right] che può essere risolta sfruttando come si deve gli sviluppi notevoli di Taylor. In particolare utilizziamo:

    - lo sviluppo notevole dell'arcotangente arrestato al terzo ordine

    \arctan(x)=x-\frac{x^3}{3}+o(x^3)

    dove con o(x^3\cdot) indichiamo l'o-piccolo di x^3.

    - lo sviluppo notevole della funzione esponenziale arrestato al secondo ordine

    e^{x}=1+x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    così che, moltiplicando ambo i membri per x giungiamo al terzo ordine

    xe^{x}=x+x^2+\frac{x^3}{2}+o(x^3)

    - lo sviluppo notevole della funzione coseno al secondo ordine

    \cos(x)=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)

    così che moltiplicando membro a membro per x giungiamo all'espressione

    x\cos(x)=x-\frac{x^3}{2}+o(x^3)

    Rimpiazziamo i termini con i loro sviluppi e il limite si riscrive come

    (\bullet)=\lim_{x\to0}\frac{-x^2-\frac{5}{6}x^3+o(x^3)}{-x^2-x^3+o(x^3)}=

    Attenzione! La forma di indecisione non è ancora svanita, ma manca poco per concludere l'esercizio: è sufficiente considerare gli infinitesimi di ordine inferiore sia al numeratore che al denominatore

    =\lim_{x\to0}\frac{-x^2}{-x^2}=1

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
 
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