Fascio improprio di piani

Buon pomeriggio, ho alcuni dubbi sui fasci impropri di piani: tutto è nato da un esercizio che mi ha messo in difficoltà, e che richiede di determinare i piani ad una certa distanza da un altro piano di cui è nota l'equazione.

 

Ho pensato di risolvere il problema usando un fascio improprio di piani (cioè un fascio in cui tutti i piani sono paralleli ad uno fisso) e l'equazione del generico piano sarebbe:

 

∏: ax + by + cz + k =0

 

al variare di "k" in R. Il problema è proprio questo parametro: che cosa rappresenta?

E per ottenere l'equazione del piano basta che sostituisco a "k" la distanza?

In Uni - Algebra Lineare - Domanda di BBarbara

 
Soluzioni

  • Buongiorno BBarbara! Arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per prima cosa: il procedimento che hai pensato di seguire è correto! Laughing

    Per capire che cosa rappresenta, nell'equazione del fascio improprio di piani

    ax+by+cz+k=0

    il parametro k, prova a ragionare così: tutti i piani di un tale fascio hanno cli stessi parametri direttori

    (a,b,c)

    questi hanno il significato geometrico di direzione normale al piano.

    Tutti i piani del fascio hanno quindi la stessa direzione normale: cioò che varia è il parametro k che quindi rappresenta la quota relativa ad una qualsiasi retta normale ai piani del fascio.

     Che cos'è quindi un fascio improprio di piani? Uno spiedino di piani Laughing

    k è "la posizione sullo spiedino"...

    Che ne dici?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Direi che è chiarissimo :))
    Quindi se nel mio caso ho distanza 4 e piano fisso con parametri direttori (3, -2, 6),
    l'equazione del piano che sto cercando è
    ∏: 3x -2y +6z +4 = 0  ?

    E un'altra cosa: se il piano di partenza avesse già un "termine noto" cioè se fosse ad esempio
    ∏: 3x -2y +6z +17 = 0

    dovrei sommare la distanza a 17 oppure riscrivere il piano senza considerare quel numero?
     

    Risposta di BBarbara

  • Occhio: per determinare il piano \pi distante d da un piano assegnato, diciamo

    3x-2y+4z=0

    devi considerare la normale al piano in un suo qualsiasi punto: qui consideriamo (0,0,0) che è molto comodo, quindi scriviamo la normale in forma parametrica

    x=0+3t

    y=0-2t

    z=0+4t

    Noi cerchiamo un punto P=(x_1,y_1,z_1) su tale normale che disti, ad esempio, d=4 dal punto (0,0,0). Quindi secondo la solita distanza euclidea

    \sqrt{(x_1-0)^2+(y_1-0)^2+(z_1-0)^2}=4

    da cui

    9t^2+4t^2+16t^2=16

    da cui

    t=\pm\frac{4}{\sqrt{29}}

    Quindi se imponiamo il passaggio del piano cercato per i due punti che soddisfano la richiesta sulla distanza, otteniamo i due piani cercati. Ad esempio, nel caso del punto con coordinate con segno positivo

    x=0+\frac{12}{\sqrt{29}}

    y=0-\frac{8}{\sqrt{29}}

    z=0+\frac{16}{\sqrt{29}}

    Sostituendo tali coordinate nell'equazione del fascio, otteniamo il valore di k cercato

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Mi sembrava di averla fatta troppo semplice!
    Quindi alla fine di questo procedimento ottengo "k" e la sostituisco nell'equazione
    senza contare il "termine noto" di cui dicevo prima, o sbagliio?
    Per il resto tutto chiarissimo e grazie :))

    Risposta di BBarbara

  • Non sbagli...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Perfetto! :)) Grazie mille!

    Risposta di BBarbara
 
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