Fascio improprio di piani

Dovrei scrivere l'equazione del fascio di piani paralleli a uno dato, dopodiché dovrei determinare il piano del fascio che passa per un punto. Sebbene io sia sicuro che il fascio sia improprio e sappia che esiste una formula ben precisa che permette di risolvere l'esercizio in un passaggio, non sono sicuro di come procedere. Confido nel vostro aiuto.

Fissato il sistema di riferimento nello spazio tridimensionale, scrivere l'equazione del fascio di piani $\mathrm{F}$ paralleli al piano di equazione cartesiana

$\pi:\ x-y-2z-1=0$

Determinare inoltre il piano del fascio che passa per il punto

Grazie.

Domanda di BBarbara

Soluzioni

Se è nota l'equazione cartesiana di un piano
$\pi: \ ax+by+cz+d=0$
l'equazione del fascio di piani paralleli a $\pi$ si ricava lasciando invariati i coefficienti direttori e sostituendo il termine noto con un parametro reale :
$\mathmr{F}:\ ax+by+cz+k=0 \ \ \ \forall k\in\mathbb{R}$
Si noti che $\pi$ e un qualsiasi piano del fascio sono necessariamente paralleli: proprio perché hanno gli stessi coefficienti direttori, è soddisfatta la condizione di parallelismo tra piani!
Dopo questo breve ripasso teorico, dovrebbe essere immediato determinare il fascio di piani paralleli al piano
$\pi:\ x-y-2z-1=0$
basta infatti scrivere l'equazione
$\mathmr{F}:\ x-y-2z+k=0 \ \ \ \forall k\in\mathbb{R}$
Il secondo punto del problema ci chiede di determinare il piano del fascio che passa per il punto e per raggiungere l'obiettivo basta imporre la condizione di appartenenza: il punto appartiene al fascio se le sue coordinate soddisfano l'equazione del fascio.
$P\in\mathrm{F} \ \iff \ 1-0-2\cdot 1+k=0$
Risolvendo in favore di , ricaviamo il valore che il parametro con cui siamo in grado di scrivere l'equazione del piano cui appartiene.
Possiamo concludere che il piano del fascio cui appartiene ha equazione cartesiana:
$\pi: \ x-y-2z+1=0$
Abbiamo finito.
Risposta di Ifrit

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