Soluzioni
  • Se è nota l'equazione cartesiana di un piano

    \pi: \ ax+by+cz+d=0

    l'equazione del fascio di piani paralleli a \pi si ricava lasciando invariati i coefficienti direttori a,b,c e sostituendo il termine noto con un parametro reale k:

    \mathmr{F}:\  ax+by+cz+k=0 \ \ \ \forall k\in\mathbb{R}

    Si noti che \pi e un qualsiasi piano del fascio sono necessariamente paralleli: proprio perché hanno gli stessi coefficienti direttori, è soddisfatta la condizione di parallelismo tra piani!

    Dopo questo breve ripasso teorico, dovrebbe essere immediato determinare il fascio di piani paralleli al piano

    \pi:\ x-y-2z-1=0

    basta infatti scrivere l'equazione

    \mathmr{F}:\ x-y-2z+k=0 \ \ \ \forall k\in\mathbb{R}

    Il secondo punto del problema ci chiede di determinare il piano del fascio che passa per il punto P(1,0,1) e per raggiungere l'obiettivo basta imporre la condizione di appartenenza: il punto appartiene al fascio se le sue coordinate soddisfano l'equazione del fascio.

    P\in\mathrm{F} \ \iff \ 1-0-2\cdot 1+k=0

    Risolvendo in favore di k, ricaviamo il valore che il parametro con cui siamo in grado di scrivere l'equazione del piano cui P appartiene.

    k=1

    Possiamo concludere che il piano del fascio cui P appartiene ha equazione cartesiana:

    \pi: \ x-y-2z+1=0

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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