Punti stazionari di una funzione integrale

Ciao non so come trovare i punti stazionari per una funzione integrale. Si tratta di una domanda a risposta multipla e non è tanto un problema di calcoli, perché non so nemmeno da dove cominciare per calcolare i punti. Ho davvero bisogno di una mano...Grazie :)

Determinare i punti stazionari della funzione

F(x) = ∫_(0)^(x)(t-2)(t-3)^3 dt

precisandone la natura.

Domanda di alice
Soluzioni

Ciao Alice, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per risolvere questo esercizio è necessario ricorrere al teorema fondamentale del calcolo integrale: detta

F(x) = ∫_(a)^(x)f(t)dt

abbiamo che

F'(x) = f(x)

quindi, per determinare i punti stazionari della funzione integrale dobbiamo, come sempre, determinare gli zeri della derivata, che grazie al teorema fondamentale del calcolo integrale possiamo determinare osservando che:

F(x) = ∫_(0)^(x)(t-2)(t-3)^3dt

quindi F'(x) = f(x) = (x-2)(x-3)^3 se x > 0.

Se invece x < 0, possiamo ricorrere ad un'opportuna proprietà dell'integrale, per la quale

F(x) = ∫_(0)^(x)(t-2)(t-3)^3dt = -∫_(x)^(0)(t-2)(t-3)^3dt

e quindi se x < 0 F'(x) = -f(x).

Studiando il segno della derivata, poi, puoi determinare i punti stazionari della funzione integrale e la loro natura.

Namasté!

Risposta di Omega

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