Soluzioni
  • Ciao federico, non si capisce la traccia, potresti gentilmente riaprire la domanda ti ringrazio :)

    Risposta di Ifrit
  • scusate il testo è sbagliato non so come mai sia uscito cosi..lo riscrivo qui..

     y^{'} (t) = \frac{y^{2} (t) + 2}{ \sqrt[]{t+2}}

    spero si legga...

    Risposta di federico
  • ho riscritto il testo qui perchè non so come si fa per chiudere la domanda e riaprirne una nuova..grazie e scusate per il mio errore..

    Risposta di federico
  • Ok, si legge non preoccuparti. L'equazione differenziale si presenta nella forma:

    y'(t)=a(t) b(y)

    dove

    a(t)= \frac{1}{\sqrt{t+2}} ha dominio I=\{t\in \mathbb{R}:\textgreater -2\}

    mentre

    b(y)= y^2+2 ha dominio J=\mathbb{R}

    cioè è a variabili separabili.

     

    A questo punto procedi con il metodo standard.

    Calcoli 

    A(t)=\int_0^{t}\frac{1}{\sqrt{s+1}}ds =2\sqrt{2+t}-2

     

    Calcoli inoltre

     

    B(y(t)):= \int_{\sqrt{2}}^{y(t)}\frac{1}{b(s)}ds= \int_{\sqrt{2}}^{y(t)}\frac{1}{2+s^2}ds=

    =\frac{\arctan\left(\frac{\sqrt{2}y(t)}{2}\right)}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}

     

    A questo punto imponendo che:

    B(y(t))= A(t)

    otterrai l'equazione:

    \frac{\arctan\left(\frac{\sqrt{2}y(t)}{2}\right)}{\sqrt{2}}-\frac{\pi}{4\sqrt{2}}= 2\sqrt{2+t}-2

     

    Risolvi in funzione di y(t) e otterrai la soluzione

    Per quanto riguarda il dominio della funzione differenziale, il discorso si allunga di molto, e la trattazione completa richiede molto tempo. Inoltre a quanto ho capito da una nostra discussione passata utilizziamo metodi diversi. Che facciamo? :)

    Risposta di Ifrit
  • ora provo a ricolverla nel modo che conosco io facendo riferimento a quello che mi hai scritto tu e cerco di vedere se mi viene il tuo stesso risultato...altrimenti non saprei..sono preoccupato perchè questo tipo di equazione differenziale è capitato all'esame e chiedeva l'intervallo massimale però cerco di farlo da solo a questo punto se la trattazione è complessa..

    Risposta di federico
  • Facciamo così, se hai necessità fammi un fischio, mi scrivi i passaggi e ti dirò se vanno bene o meno, ok? Non preoccuparti non ti lasciamo da solo :P

    Risposta di Ifrit
  • ok grazie mille ora provo a fare tutto...

    Risposta di federico
  • io ho fatto questi passaggi cerco di scriverteli (forse ti sembreranno strani ma la prof ci ha spiegato cosi)...essendo a variabili separabili faccio l'integrale da ambo le parti:

     \int{\frac{dy}{2( 1 + (\frac{y}{\sqrt{2}})^{2})}  =  \int{\frac{dt} {\sqrt{t+2}}  

     \frac{1} {\sqrt{2} } arctan(\frac{y}{\sqrt{2}} ) = 2{\sqrt{t+2}} + c 

     \frac{y} {\sqrt{2}} = tan (2\sqrt{2} {\sqrt{t+2}} +\sqrt{2}c )

    ora per trovare la soluzione particolare la prof ci fa fare in questo modo...sostituisco alla t zero e ad y la y(0) e ricavo C..

     \frac{y(0)} {\sqrt{2}} = tan (2\sqrt{2} {\sqrt{0+2}} +\sqrt{2}c )

     1 = tan ({{4 +\sqrt{2}c )

    da cui ottengo  \frac{\pi}{4} = 4 +\sqrt{2}c  e quindi  c = \frac{\pi}{8} -2\sqrt{2}

    che penso dovrebbe essere uguale al tuo termine noto fatti i vari aggiustamenti...alla fine ottengo che

     \frac{1} {\sqrt{2} } arctan(\frac{y(t)}{\sqrt{2}} ) = 2{\sqrt{t+2}} + \frac{\pi}{8} -2\sqrt{2}

    da cui poi ricavo y(t) facendo la tangente..solo che ora devo definire l'intervallo massimale ...

    mamma che ammazzata per scrivere tutto... grazie mille

    Risposta di federico
  • Ahahah è vero, il Latex è bello da vedere ma ti distrugge quando ci devi scrivere.. Immagina noi moderatori come siamo ridotti xDXD

     

    Tornando a noi, la risoluzione che proponi mi pare corretta, il problema dell'intervallo massimale però è delicato, perché per determinarlo io utilizzo il metodo che conosco (ti ricordi lo avevo anche scritto in una nostra vecchia discussione) mentre non conosco il metodo utilizzato dal tuo insegnante :|

    Io per determinarlo ad esempio utilizzo una tecnica (standard nella mia università), che però tu non conosci, inoltre richiede molti passaggi ,  :|.

    Facciamo così, spostiamo la discussione nel forum, nel quale ho più tempo per pensarci. La sezione FLTD dovrebbe essere veloce, mentre questa domanda richiede tempo per essere sviluppata :|

    Risposta di Ifrit
  • ok allora metto un link di riferimento a questa domanda nel forum..grazie mille

    Risposta di federico
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